Uma esfera de 3 kg, em queda vertical no ar, tem a velocidade terminal de
. (Admitir que a força de arraste seja -bv.) A esfera está ligada a uma mola de constante
e oscila com amplitude inicial de 20 cm. (a) Qual é
? (b) Quando a amplitude será 10 cm? © Quanta energia terá sido dissipada quando a amplitude for 10 cm?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma esfera de 3 kg que está caindo verticalmente no ar com uma velocidade terminal de 25 m/s. Além disso, essa esfera está ligada a uma mola com constante elástica
e está oscilando com uma amplitude inicial de 20 cm. O exercício tem três partes:
a) Encontrar
(fator de qualidade da oscilação).
b) Determinar quando a amplitude será de 10 cm.
c) Calcular quanta energia foi dissipada quando a amplitude for de 10 cm.
b) Determinar quando a amplitude será de 10 cm.
c) Calcular quanta energia foi dissipada quando a amplitude for de 10 cm.
Vamos precisar entender conceitos de movimento oscilatório, força de arrasto e como a energia é dissipada em sistemas oscilantes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o fator de qualidade
. O
descreve quanta energia é armazenada em um sistema oscilante em relação à energia dissipada por ciclo. Um
alto significa que o sistema oscila por muito tempo sem perder muita energia, enquanto um
baixo indica que a energia é dissipada rapidamente.
Para encontrar
, usamos a relação entre a força de arrasto e a constante elástica da mola. Sabemos que a força de arrasto é proporcional à velocidade, dada por
.
Passo 3
Sabemos que a velocidade terminal ocorre quando a força de arrasto equilibra o peso da esfera. Então, podemos escrever:
Onde:
-
(velocidade terminal) -
(massa) -
(aceleração da gravidade)
Vamos resolver para
:
Passo 4
Agora, o fator de qualidade
para um sistema massa-mola com amortecimento é dado por:
Onde
é a frequência angular natural, calculada por:
Vamos calcular
:
Passo 5
Agora, substituímos os valores na fórmula do
:
Resposta
a) O fator de qualidade
é aproximadamente 29,47.
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