Uma esfera de 3 kg, em queda vertical no ar, tem a velocidade terminal de . (Admitir que a força de arraste seja -bv.) A esfera está ligada a uma mola de constante e oscila com amplitude inicial de 20 cm. (a) Qual é ? (b) Quando a amplitude será 10 cm? © Quanta energia terá sido dissipada quando a amplitude for 10 cm?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma esfera de 3 kg que está caindo verticalmente no ar com uma velocidade terminal de 25 m/s. Além disso, essa esfera está ligada a uma mola com constante elástica e está oscilando com uma amplitude inicial de 20 cm. O exercício tem três partes:
a) Encontrar (fator de qualidade da oscilação).
b) Determinar quando a amplitude será de 10 cm.
c) Calcular quanta energia foi dissipada quando a amplitude for de 10 cm.
Vamos precisar entender conceitos de movimento oscilatório, força de arrasto e como a energia é dissipada em sistemas oscilantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o fator de qualidade . O descreve quanta energia é armazenada em um sistema oscilante em relação à energia dissipada por ciclo. Um alto significa que o sistema oscila por muito tempo sem perder muita energia, enquanto um baixo indica que a energia é dissipada rapidamente.
Para encontrar , usamos a relação entre a força de arrasto e a constante elástica da mola. Sabemos que a força de arrasto é proporcional à velocidade, dada por .

Passo 3

Sabemos que a velocidade terminal ocorre quando a força de arrasto equilibra o peso da esfera. Então, podemos escrever:
Onde:
  • (velocidade terminal)
  • (massa)
  • (aceleração da gravidade)
Vamos resolver para :

Passo 4

Agora, o fator de qualidade para um sistema massa-mola com amortecimento é dado por:
Onde é a frequência angular natural, calculada por:
Vamos calcular :

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula do :

Resposta

a) O fator de qualidade é aproximadamente 29,47.

Exercícios relacionados

Um corpo de massa 2 kg está sobre uma superfície horizontal sem atrito e ligado a uma mola cuja constante é . Um segundo corpo, de massa 1 kg, desliza sobre a superfície, na direção do primeiro, a . (a) Achar a amplitude da oscilação no caso de a colisão ser perfeitamente inelástica e de os dois corpos ficarem juntos depois da colisão. Qual o período de oscilação? (b) Achar a amplitude e o período de oscilação se a colisão for elástica. © Com cada tipo de colisão, escrever uma expressão da posição em função do tempo para o corpo ligado à mola, admitindo que a colisão ocorra no instante . Qual o impulso proporcionado, em cada caso, ao corpo de 2 kg?
Um oscilador amortecido tem uma freqüência que é menor que a freqüência do oscilador sem amortecimento. (a) Qual o fator de decréscimo da amplitude em cada oscilação? (b) Qual o fator de redução da energia em cada oscilação?
Um bloco pendurado numa mola oscila verticalmente com a freqüência de 4 Hz e a amplitude de 7 cm. Uma pequenina pedra é colocada sobre o topo do bloco, exatamente no instante em que este bloco estava no ponto mais baixo da sua trajetória. Admitamos que a pedra não tenha efeito sobre a oscilação. (a) A que distância, acima da posição de equilíbrio do bloco, a pedra perde contato com o bloco? (b) Qual a velocidade da pedra quando ela perde contato com o bloco? © Qual a maior altura, acima da posição de equilíbrio do bloco, que a pedra alcança?
Um corpo de está pendurado numa mola vertical que tem a constante . O corpo oscila com uma amplitude de 3 cm. Quando o corpo está no seu deslocamento máximo para baixo, achar (a) a energia total do sistema, (b) a energia potencial gravitacional e © a energia potencial na mola. (d) Qual é a energia cinética máxima do corpo? (Escolher na posição de equilíbrio do corpo.)