Uma esfera de 3 kg, em queda vertical no ar, tem a velocidade terminal de 25 m / s. (Admitir que a força de arraste seja -bv.) A esfera está ligada a uma mola de constante k=400 N / m e oscila com amplitude inicial de 20 cm. (a) Qual é Q? (b) Quando a amplitude será 10 cm? © Quanta energia terá sido dissipada quando a amplitude for 10 cm?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma esfera de 3 kg que está caindo verticalmente no ar com uma velocidade terminal de 25 m/s. Além disso, essa esfera está ligada a uma mola com constante elástica e está oscilando com uma amplitude inicial de 20 cm. O exercício tem três partes:
a) Encontrar (fator de qualidade da oscilação).
b) Determinar quando a amplitude será de 10 cm.
c) Calcular quanta energia foi dissipada quando a amplitude for de 10 cm.
Vamos precisar entender conceitos de movimento oscilatório, força de arrasto e como a energia é dissipada em sistemas oscilantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o fator de qualidade . O descreve quanta energia é armazenada em um sistema oscilante em relação à energia dissipada por ciclo. Um alto significa que o sistema oscila por muito tempo sem perder muita energia, enquanto um baixo indica que a energia é dissipada rapidamente.
Para encontrar , usamos a relação entre a força de arrasto e a constante elástica da mola. Sabemos que a força de arrasto é proporcional à velocidade, dada por .

Passo 3

Sabemos que a velocidade terminal ocorre quando a força de arrasto equilibra o peso da esfera. Então, podemos escrever:
b vt = m g
Onde:
  • b = m gvt = 3 times 9,825 = 29,425 = 1,176 , kg/s (velocidade terminal)
  • (massa)
  • (aceleração da gravidade)
Vamos resolver para :

Passo 4

Agora, o fator de qualidade Q = m omega0b para um sistema massa-mola com amortecimento é dado por:
omega0 = raizkm
Onde omega0 = raiz4003 approx raiz133,33 approx 11,55 , rad/s é a frequência angular natural, calculada por:
Vamos calcular :

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula do Q = 3 times 11,551,176 approx 34,651,176 approx 29,47 :

Resposta

a) O fator de qualidade é aproximadamente 29,47.

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