Dados os vetores que variam com o tempo A=imath cos omega t+jmath sen omega t e B=t imath+t^2 jmath+t^3 k. Encontre
d(A cdot B) / d t e d(A times B) / d t

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve vetores que mudam com o tempo. Temos os vetores e , e precisamos encontrar as derivadas do produto escalar e do produto vetorial em relação ao tempo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de vetores e propriedades de produtos escalares e vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os vetores dados:
A = imath cos omega t + jmath sen omega t
Aqui, B = t imath + t^2 jmath + t^3 k , e são os vetores unitários nas direções , e , respectivamente.

Passo 3

Para encontrar a derivada do produto escalar ddt (A cdot B) = dAdt cdot B + A cdot dBdt em relação ao tempo, usamos a regra do produto:
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 4

Primeiro, calculamos dAdt = -imath omega sen omega t + jmath omega cos omega t :
Depois, calculamos dBdt = imath + 2t jmath + 3t^2 k :

Passo 5

Agora, substituímos as derivadas na regra do produto escalar:

Passo 6

Calculando os produtos escalares:
Simplificando:

Passo 7

Agrupando os termos semelhantes:

Passo 8

Agora, vamos encontrar a derivada do produto vetorial ddt (A times B) = dAdt times B + A times dBdt em relação ao tempo. Usamos novamente a regra do produto:

Passo 9

Calculando cada produto vetorial separadamente:
Primeiro:
Calculando:
Simplificando usando as propriedades dos vetores unitários ( dAdt times B = (-omega sen omega t imath + omega cos omega t jmath) times (t imath + t^2 jmath + t^3 k) , etc.):
Continuando a simplificação…
Segundo:
Calculando:
Simplificando:

Passo 10

Somando os dois resultados obtidos:
Agrupando os termos semelhantes:

Resposta

A derivada do produto escalar é:
E a derivada do produto vetorial é:

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