Dados os vetores que variam com o tempo e . Encontre e
Passo 1
Vamos resolver um exercício que envolve vetores que mudam com o tempo. Temos os vetores e , e precisamos encontrar as derivadas do produto escalar e do produto vetorial em relação ao tempo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de vetores e propriedades de produtos escalares e vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os vetores dados:
Aqui, , e são os vetores unitários nas direções , e , respectivamente.
Passo 3
Para encontrar a derivada do produto escalar em relação ao tempo, usamos a regra do produto:
Vamos calcular cada termo separadamente.
Passo 4
Primeiro, calculamos :
Depois, calculamos :
Passo 5
Agora, substituímos as derivadas na regra do produto escalar:
Passo 6
Calculando os produtos escalares:
Simplificando:
Passo 7
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 8
Agora, vamos encontrar a derivada do produto vetorial em relação ao tempo. Usamos novamente a regra do produto:
Passo 9
Calculando cada produto vetorial separadamente:
Primeiro:
Calculando:
Simplificando usando as propriedades dos vetores unitários (, etc.):