Dados os vetores que variam com o tempo e . Encontre e d(A times B) / d t
Passo 1
Vamos resolver um exercício que envolve vetores que mudam com o tempo. Temos os vetores e , e precisamos encontrar as derivadas do produto escalar e do produto vetorial em relação ao tempo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de vetores e propriedades de produtos escalares e vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os vetores dados:
A = imath cos omega t + jmath sen omega t
Aqui, B = t imath + t^2 jmath + t^3 k , e são os vetores unitários nas direções , e , respectivamente.
Passo 3
Para encontrar a derivada do produto escalar ddt (A cdot B) = dAdt cdot B + A cdot dBdt em relação ao tempo, usamos a regra do produto:
Vamos calcular cada termo separadamente.
Passo 4
Primeiro, calculamos dAdt = -imath omega sen omega t + jmath omega cos omega t :
Agora, substituímos as derivadas na regra do produto escalar:
Passo 6
Calculando os produtos escalares:
Simplificando:
Passo 7
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 8
Agora, vamos encontrar a derivada do produto vetorial ddt (A times B) = dAdt times B + A times dBdt em relação ao tempo. Usamos novamente a regra do produto:
Passo 9
Calculando cada produto vetorial separadamente:
Primeiro:
Calculando:
Simplificando usando as propriedades dos vetores unitários ( dAdt times B = (-omega sen omega t imath + omega cos omega t jmath) times (t imath + t^2 jmath + t^3 k) , etc.):