Dados os vetores que variam com o tempo e . Encontre
e

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve vetores que mudam com o tempo. Temos os vetores e , e precisamos encontrar as derivadas do produto escalar e do produto vetorial em relação ao tempo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de vetores e propriedades de produtos escalares e vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os vetores dados:
Aqui, , e são os vetores unitários nas direções , e , respectivamente.

Passo 3

Para encontrar a derivada do produto escalar em relação ao tempo, usamos a regra do produto:
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 4

Primeiro, calculamos :
Depois, calculamos :

Passo 5

Agora, substituímos as derivadas na regra do produto escalar:

Passo 6

Calculando os produtos escalares:
Simplificando:

Passo 7

Agrupando os termos semelhantes:

Passo 8

Agora, vamos encontrar a derivada do produto vetorial em relação ao tempo. Usamos novamente a regra do produto:

Passo 9

Calculando cada produto vetorial separadamente:
Primeiro:
Calculando:
Simplificando usando as propriedades dos vetores unitários ( , etc.):
Continuando a simplificação…
Segundo:
Calculando:
Simplificando:

Passo 10

Somando os dois resultados obtidos:
Agrupando os termos semelhantes:

Resposta

A derivada do produto escalar é:
E a derivada do produto vetorial é:

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