Um bloco preso a uma mola é posto em oscilação com amplitude inicial de 125 mm . Após a amplitude decaiu para 57 mm . Qual é o valor de (em s) para este movimento?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um bloco preso a uma mola que está oscilando. A amplitude inicial dessa oscilação é de 125 mm e, depois de 2,2 minutos, a amplitude diminuiu para 57 mm. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de λ, que está relacionado ao decaimento da amplitude nesse movimento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento oscilatório amortecido e algumas equações matemáticas para calcular λ.

Passo 2

Primeiro, vamos converter o tempo de 2,2 minutos para segundos, porque geralmente trabalhamos com o tempo em segundos nas fórmulas.
Sabemos que:
Então:
Agora sabemos que o tempo segundos.

Passo 3

Entender como a amplitude decai no tempo é fundamental aqui. Em um movimento oscilatório amortecido, a amplitude em função do tempo é dada por:
Onde:
  • é a amplitude inicial,
  • é a constante de amortecimento que queremos encontrar,
  • �� o tempo.

Passo 4

Vamos substituir os valores que temos na equação para resolver para .
Sabemos que:
Substituindo na equação:

Passo 5

Agora, vamos isolar o termo exponencial para resolver para .
Dividimos ambos os lados por 125:
Calculando a divisão:

Passo 6

Para eliminar a exponencial, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação.
Sabemos que , então:

Passo 7

Agora, vamos resolver para .
Primeiro, calculamos :
Então:
Multiplicamos ambos os lados por -1:
Agora, isolamos :

Passo 8

Calculando o valor de :
Como solicitado, vamos expressar em s:
Parece que houve um mal-entendido na unidade solicitada. Se precisar em s, o valor permanece como .

Resposta

O valor de é aproximadamente .

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