Um bloco preso a uma mola é posto em oscilação com amplitude inicial de 125 mm . Após
a amplitude decaiu para 57 mm . Qual é o valor de
(em
s) para este movimento?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um bloco preso a uma mola que está oscilando. A amplitude inicial dessa oscilação é de 125 mm e, depois de 2,2 minutos, a amplitude diminuiu para 57 mm. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de λ, que está relacionado ao decaimento da amplitude nesse movimento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento oscilatório amortecido e algumas equações matemáticas para calcular λ.
Passo 2
Primeiro, vamos converter o tempo de 2,2 minutos para segundos, porque geralmente trabalhamos com o tempo em segundos nas fórmulas.
Sabemos que:
Então:
Agora sabemos que o tempo
segundos.
Passo 3
Entender como a amplitude decai no tempo é fundamental aqui. Em um movimento oscilatório amortecido, a amplitude
em função do tempo é dada por:
Onde:
-
é a amplitude inicial, -
é a constante de amortecimento que queremos encontrar, -
�� o tempo.
Passo 4
Vamos substituir os valores que temos na equação para resolver para
.
Sabemos que:
Substituindo na equação:
Passo 5
Agora, vamos isolar o termo exponencial para resolver para
.
Dividimos ambos os lados por 125:
Calculando a divisão:
Passo 6
Para eliminar a exponencial, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação.
Sabemos que
, então:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
.
Primeiro, calculamos
:
Então:
Multiplicamos ambos os lados por -1:
Agora, isolamos
:
Passo 8
Calculando o valor de
:
Como solicitado, vamos expressar
em
s:
Parece que houve um mal-entendido na unidade solicitada. Se precisar em
s, o valor permanece como
.
Resposta
O valor de
é aproximadamente
.