Um bloco preso a uma mola é posto em oscilação com amplitude inicial de 125 mm . Após 2,2 min a amplitude decaiu para 57 mm . Qual é o valor de lambda (em 10^3 s) para este movimento?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um bloco preso a uma mola que está oscilando. A amplitude inicial dessa oscilação é de 125 mm e, depois de 2,2 minutos, a amplitude diminuiu para 57 mm. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de λ, que está relacionado ao decaimento da amplitude nesse movimento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento oscilatório amortecido e algumas equações matemáticas para calcular λ.

Passo 2

Primeiro, vamos converter o tempo de 2,2 minutos para segundos, porque geralmente trabalhamos com o tempo em segundos nas fórmulas.
Sabemos que:
1 , minuto = 60 , segundos
Então:
2,2 , minutos times 60 , segundosminuto = 132 , segundos
Agora sabemos que o tempo segundos.

Passo 3

Entender como a amplitude decai no tempo é fundamental aqui. Em um movimento oscilatório amortecido, a amplitude A(t) = A0 cdot e^-lambda t em função do tempo é dada por:
Onde:
  • é a amplitude inicial,
  • é a constante de amortecimento que queremos encontrar,
  • �� o tempo.

Passo 4

Vamos substituir os valores que temos na equação para resolver para A(t) = 57 , mm .
Sabemos que:
A0 = 125 , mm
t = 132 , s
57 = 125 cdot e^-lambda cdot 132
Substituindo na equação:

Passo 5

Agora, vamos isolar o termo exponencial para resolver para 57125 = e^-lambda cdot 132 .
Dividimos ambos os lados por 125:
0,456 = e^-lambda cdot 132
Calculando a divisão:

Passo 6

Para eliminar a exponencial, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação.
ln(0,456) = ln(e^-lambda cdot 132)
Sabemos que ln(0,456) = -lambda cdot 132 , então:

Passo 7

Agora, vamos resolver para ln(0,456) approx -0,785 .
Primeiro, calculamos -0,785 = -lambda cdot 132 :
0,785 = lambda cdot 132
Então:
lambda = 0,785132
Multiplicamos ambos os lados por -1:
Agora, isolamos :

Passo 8

Calculando o valor de lambda approx 0,785132 approx 0,00595 , s^-1 :
lambda approx 0,00595 times 10^3 , s^-1
Como solicitado, vamos expressar lambda approx 5,95 , s^-1 times 10^0 em s:
Parece que houve um mal-entendido na unidade solicitada. Se precisar em s, o valor permanece como .

Resposta

O valor de é aproximadamente .

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