Um bloco preso a uma mola é posto em oscilação com amplitude inicial de 125 mm . Após
a amplitude decaiu para 57 mm . Qual é o valor de
(em
s) para este movimento?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um bloco preso a uma mola que está oscilando. A amplitude inicial dessa oscilação é de 125 mm e, depois de 2,2 minutos, a amplitude diminuiu para 57 mm. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de λ, que está relacionado ao decaimento da amplitude nesse movimento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento oscilatório amortecido e algumas equações matemáticas para calcular λ.
Passo 2
Primeiro, vamos converter o tempo de 2,2 minutos para segundos, porque geralmente trabalhamos com o tempo em segundos nas fórmulas.
Sabemos que:
Então:
Agora sabemos que o tempo
segundos.
Passo 3
Entender como a amplitude decai no tempo é fundamental aqui. Em um movimento oscilatório amortecido, a amplitude
em função do tempo é dada por:
Onde:
-
é a amplitude inicial, -
é a constante de amortecimento que queremos encontrar, -
�� o tempo.
Passo 4
Vamos substituir os valores que temos na equação para resolver para
.
Sabemos que:
Substituindo na equação:
Passo 5
Agora, vamos isolar o termo exponencial para resolver para
.
Dividimos ambos os lados por 125:
Calculando a divisão:
Passo 6
Para eliminar a exponencial, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação.
Sabemos que
, então:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
.
Primeiro, calculamos
:
Então:
Multiplicamos ambos os lados por -1:
Agora, isolamos
:
Passo 8
Calculando o valor de
:
Como solicitado, vamos expressar
em
s:
Parece que houve um mal-entendido na unidade solicitada. Se precisar em
s, o valor permanece como
.
Resposta
O valor de
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Um cabo de aço flexível é amarrado nos suportes A e B, afastados horizontalmente de
. Uma carga P está pendurada em uma pequena roldana, que pode rolar ao longo do cabo, sem atrito, até chegar à posição de equilíbrio. Como os suportes A e B se situam à mesma elevação, o ponto de equilíbrio se situa no ponto médio do cabo. Se o trecho do cabo entre a roldana e um dos suportes é igual a
e a força de tração no cabo é igual a
, quanto vale o peso P? Resposta:
.
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.
Um bloco de
está preso a uma mola de constante elástica
e oscila sobre uma superfície horizontal sem atrito. O bloco está sujeito a uma força de amortecimento proporcional à sua velocidade, dada por FA, x = -bvx, onde
é a constante de amortecimento. Considerando que o movimento é harmônico amortecido, qual é a frequência (em Hz) das oscilações do bloco?
Considere um sistema massa-mola de massa m = 0,210 kg e constante elástica
, posto para oscilar verticalmente sob a ação de uma força senoidal Fext,y
. O sistema massa-mola está imerso em um fluido que the aplica uma força de amortecimento FA,y = - (1,00 N.s/m) vy, onde vy é a velocidade do sistema massa-mola. Qual é a frequência de ressonância (em Hz) do sistema massa-mola?