Um bloco sobe um plano com ângulo de inclinação alpha em relação ao eixo horizontal com velocidade inicial de módulo v0.
(a) Obtenha as equações de movimento
(b) Determine a distância máxima que o bloco atinge ao longo do plano inclinado.
© Obtenha o tempo necessário para que o bloco retorne para a posição inicial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um bloco que está subindo um plano inclinado com um ângulo alpha em relação à horizontal. Ele começa com uma velocidade inicial de magnitude v0. Vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica para resolver as três partes desse exercício. Para isso, vamos precisar entender as forças atuantes no bloco e aplicar as equações de movimento adequadas.

Passo 2

Parte (a): Obtendo as equações de movimento
Primeiro, precisamos identificar as forças atuando no bloco enquanto ele sobe o plano inclinado. As principais são:
  1. Força da gravidade ( mg): Puxa o bloco para baixo.
  2. Força normal ( N): Perpendicular ao plano inclinado.
  3. Força de atrito ( f): Se houver, mas como não foi mencionado, vamos assumir que não há atrito.
  4. Força resultante ( F): Que causa a aceleração do bloco.
Vamos decompor a força da gravidade em duas componentes:
  • Paralela ao plano: mg sin alpha
  • Perpendicular ao plano: mg cos alpha
Como não há atrito, a única força que causa aceleração é a componente paralela da gravidade. Portanto, a aceleração do bloco vai ser negativa (contrária ao movimento) e dada por:
a = -g sin alpha
Então, as equações de movimento são baseadas nas equações do movimento uniformemente acelerado:
v = v0 + a t
s = v0 t + 12 a t^2
Onde:
  • v é a velocidade no tempo t
  • s é a distância percorrida ao longo do plano inclinado

Passo 3

Parte (b): Determinando a distância máxima que o bloco atinge ao longo do plano inclinado
Para encontrar a distância máxima, precisamos saber quando a velocidade do bloco chega a zero (ponto mais alto da subida).
Usando a equação da velocidade:
0 = v0 + (-g sin alpha) t
Resolvendo para t:
t = v0g sin alpha
Agora, vamos usar esse tempo na equação da distância:
s = v0 t + 12 (-g sin alpha) t^2
Substituindo t:
s = v0 ( v0g sin alpha ) + 12 (-g sin alpha) ( v0g sin alpha )^2
Simplificando:
s = v0^2g sin alpha - v0^22 g sin alpha = v0^22 g sin alpha
Então, a distância máxima é:
smáx = v0^22 g sin alpha á

Passo 4

Parte ©: Obtendo o tempo necessário para que o bloco retorne para a posição inicial
Após atingir a distância máxima, o bloco vai desacelerar e parar, e então começar a deslizar de volta até a posição inicial. O tempo total é o dobro do tempo que leva para chegar à distância máxima, já que o movimento de subida e descida são simétricos (sem atrito).
Já calculamos o tempo para atingir a distância máxima:
tsubida = v0g sin alpha
Portanto, o tempo total para retornar é:
ttotal = 2 tsubida = 2 v0g sin alpha

Resposta

A distância máxima que o bloco atinge ao longo do plano inclinado é smáx = dfracv0^22 g sin alphaá e o tempo necessário para que ele retorne para a posição inicial é ttotal = dfrac2 v0g sin alpha.

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