Um bloco sobe um plano com ângulo de inclinação
em relação ao eixo horizontal com velocidade inicial de módulo
.
(a) Obtenha as equações de movimento
(b) Determine a distância máxima que o bloco atinge ao longo do plano inclinado.
© Obtenha o tempo necessário para que o bloco retorne para a posição inicial.
(a) Obtenha as equações de movimento
(b) Determine a distância máxima que o bloco atinge ao longo do plano inclinado.
© Obtenha o tempo necessário para que o bloco retorne para a posição inicial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um bloco que está subindo um plano inclinado com um ângulo
em relação à horizontal. Ele começa com uma velocidade inicial de magnitude
. Vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica para resolver as três partes desse exercício. Para isso, vamos precisar entender as forças atuantes no bloco e aplicar as equações de movimento adequadas.
Passo 2
Parte (a): Obtendo as equações de movimento
Primeiro, precisamos identificar as forças atuando no bloco enquanto ele sobe o plano inclinado. As principais são:
- Força da gravidade (
): Puxa o bloco para baixo. - Força normal (
): Perpendicular ao plano inclinado. - Força de atrito (
): Se houver, mas como não foi mencionado, vamos assumir que não há atrito. - Força resultante (
): Que causa a aceleração do bloco.
Vamos decompor a força da gravidade em duas componentes:
- Paralela ao plano:
- Perpendicular ao plano:
Como não há atrito, a única força que causa aceleração é a componente paralela da gravidade. Portanto, a aceleração do bloco vai ser negativa (contrária ao movimento) e dada por:
Então, as equações de movimento são baseadas nas equações do movimento uniformemente acelerado:
Onde:
-
é a velocidade no tempo -
é a distância percorrida ao longo do plano inclinado
Passo 3
Parte (b): Determinando a distância máxima que o bloco atinge ao longo do plano inclinado
Para encontrar a distância máxima, precisamos saber quando a velocidade do bloco chega a zero (ponto mais alto da subida).
Usando a equação da velocidade:
Resolvendo para
:
Agora, vamos usar esse tempo na equação da distância:
Substituindo
:
Simplificando:
Então, a distância máxima é:
Passo 4
Parte ©: Obtendo o tempo necessário para que o bloco retorne para a posição inicial
Após atingir a distância máxima, o bloco vai desacelerar e parar, e então começar a deslizar de volta até a posição inicial. O tempo total é o dobro do tempo que leva para chegar à distância máxima, já que o movimento de subida e descida são simétricos (sem atrito).
Já calculamos o tempo para atingir a distância máxima:
Portanto, o tempo total para retornar é:
Resposta
A distância máxima que o bloco atinge ao longo do plano inclinado é
e o tempo necessário para que ele retorne para a posição inicial é
.
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