Uma bobina com 38 times 10^-3 H de indutância de resistência desconhecida e um capacitor de 0,6 times 10^-6 F são ligados em série com um gerador cuja frequência é 390 Hz . Se a constante de fase entre a tensão aplicada pelo gerador e a corrente no circuito é 75^circ, qual é a resistência da bobina?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um circuito que tem uma bobina (indutor) e um capacitor ligados em série, junto com um gerador que manda uma corrente alternada de 390 Hz. A bobina tem uma indutância de e a resistência dela é o que queremos descobrir. Além disso, temos que a diferença de fase entre a tensão do gerador e a corrente no circuito é de . Vamos usar conceitos de circuitos de corrente alternada, como impedância e ângulo de fase, para achar a resistência da bobina.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um circuito série AC com resistência Z = raizR^2 + (XL - XC)^2 , indutância tan(phi) = XL - XCR e capacitância , a impedância total é dada por:
Onde:
  • é a reatância indutiva,
  • é a reatância capacitiva,
  • é a frequência angular.
O ângulo de fase está relacionado por:
No nosso caso, , , , e .

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a frequência angular omega = 2pi f = 2pi times 390 approx 2450 , rad/s :

Passo 4

Agora, calculamos as reatâncias indutiva XL = omega L = 2450 times 38 times 10^-3 approx 93,1, Omega e capacitiva XC = 1omega C = 12450 times 0,6 times 10^-6 approx 680,3, Omega :

Passo 5

Em seguida, encontramos a diferença entre as reatâncias:
XL - XC = 93,1 - 680,3 = -587,2, Omega
O sinal negativo indica que a reatância capacitiva é maior que a indutiva, mas para o cálculo do ângulo de fase, vamos considerar o valor absoluto.

Passo 6

Agora, usamos a relação do ângulo de fase:
tan(phi) = |XL - XC|R
Isolando R = |XL - XC|tan(phi) :
R = 587,2tan(75^circ)
Substituindo os valores:

Passo 7

Calculando o tan(75^circ) approx 3,732 :
R = 587,23,732 approx 157,6, Omega
Então:

Resposta

A resistência da bobina é aproximadamente .

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