Uma bobina com N enrolamentos, momento de inércia I, corrente i e área A, está com seu momento magnético mu formando um ângulo theta com um campo magnético externo B. Mostre que a bobina adquire movimento harmônico simples para theta ll 1. Calcule a frequência de oscilação.
Resposta: f=12 pi raizN i A BI

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma bobina com:
  • N enrolamentos: o número de voltas da bobina.
  • Momento de inércia I: mede a resistência da bobina a mudanças em seu estado de rotação.
  • Corrente i: a intensidade da corrente elétrica passando pela bobina.
  • Área A: a área da seção transversal da bobina.
  • Momento magnético mu fazendo um ângulo theta com um campo magnético externo B.
Queremos mostrar que, para pequenos ângulos ( theta ll 1), a bobina realiza movimento harmônico simples (MHS) e calcular a frequência dessa oscilação.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos:
  1. Momento Magnético: Relaciona-se com a força que a bobina sente no campo magnético.
  2. Torque Magnético: É a força que faz a bobina girar no campo magnético.
  3. Movimento Harmônico Simples: Tipo de movimento oscilatório que podemos modelar com uma mola, por exemplo.

Passo 2

Vamos começar calculando o momento magnético da bobina. O momento magnético ( mu) para uma bobina é dado por:
mu = N cdot i cdot A
onde:
  • N é o número de voltas,
  • i é a corrente,
  • A é a área da bobina.

Passo 3

O torque magnético ( tau) que atua na bobina devido ao campo magnético externo ( B) é dado por:
tau = mu times B
A magnitude do torque é:
tau = mu B sintheta
Como estamos considerando que theta é muito pequeno ( theta ll 1), podemos usar a aproximação sintheta approx theta (onde theta está em radianos). Então:
tau approx mu B theta

Passo 4

Segundo a segunda lei de Newton para rotação, o torque também está relacionado ao momento de inércia ( I) e à aceleração angular ( alpha):
tau = I cdot alpha
A aceleração angular alpha é a derivada da velocidade angular em relação ao tempo, mas como estamos tratando de oscilação, podemos relacionar alpha à posição angular theta.

Passo 5

Igualando as duas expressões para o torque:
I cdot alpha = mu B theta
Sabemos que para o movimento harmônico simples, a equação da segunda lei de Newton é:
I cdot d^2thetadt^2 = -k theta
onde k é uma constante. Comparando com a nossa equação, identificamos que:
k = mu B = N i A B

Passo 6

A equação diferencial para o MHS é:
d^2thetadt^2 + kI theta = 0
A solução dessa equação é um movimento oscilatório com frequência angular:
omega = raizkI = raizN i A BI

Passo 7

A frequência de oscilação ( f) está relacionada à frequência angular ( omega) pela fórmula:
f = omega2pi
Substituindo omega:
f = 12pi raizN i A BI

Resposta

A frequência de oscilação da bobina é:
f = 12 pi raizN i A BI

Exercícios relacionados

Um capacitor de 1,6 mu F, inicialmente descarregado, é conectado em série a um resistor de 10 k Omega e a uma bateria de 5 V cuja resistência interna é desprezível. (a) Qual é a carga no capacitor após um tempo muito longo? (b) Quanto tempo será necessário para o capacitor atingir 99 % de sua carga final?
O flash da máquina fotográfica de um jornalista utiliza uma bateria de 9 V para carregar um capacitor de 0,15 mu F. O capacitor é então descarregado através da lâmpada do flash, cuja resistência é de 10,5 Omega, quando a chave é fechada. A tensão mínima necessária para a descarga do flash é de 7 V. O capacitor é carregado através de um resistor de 18 k Omega. (a) Qual é o tempo necessário para carregar o capacitor até os necessários 7V? (b) Qual é a energia liberada quando a lâmpada acende? © Qual é a energia fornecida pela bateria durante o ciclo e qual é a fração dissipada dessa energia no resistor?
Considere um sistema formado por três cargas pontuais. A carga de 5,00 nC se encontra na origem de um sistema de coordenadas, a de 6,00 nC está em rA=(0,300 m) imath e a de -3,00 nC em rB=(-0,100 m) jmath. Encontre o vetor campo elétrico na origem, devido às cargas de 6,00 nC e-3,00 nC.
Considere um sistema formado por três cargas pontuais. A carga de 5,00 nC se encontra na origem de um sistema de coordenadas, a de 6,00 nC está em rA=(0,300 m) imath e a de -3,00 nC em rB=(-0,100 m) jmath. Encontre a força vetorial na carga que está na origem.