Uma bobina com
enrolamentos, momento de inércia
, corrente
e área
, está com seu momento magnético
formando um ângulo
com um campo magnético externo
. Mostre que a bobina adquire movimento harmônico simples para
. Calcule a frequência de oscilação.
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma bobina com:
-
enrolamentos: o número de voltas da bobina. - Momento de inércia
: mede a resistência da bobina a mudanças em seu estado de rotação. - Corrente
: a intensidade da corrente elétrica passando pela bobina. - Área
: a área da seção transversal da bobina. - Momento magnético
fazendo um ângulo com um campo magnético externo .
Queremos mostrar que, para pequenos ângulos (
), a bobina realiza movimento harmônico simples (MHS) e calcular a frequência dessa oscilação.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos:
- Momento Magnético: Relaciona-se com a força que a bobina sente no campo magnético.
- Torque Magnético: É a força que faz a bobina girar no campo magnético.
- Movimento Harmônico Simples: Tipo de movimento oscilatório que podemos modelar com uma mola, por exemplo.
Passo 2
Vamos começar calculando o momento magnético da bobina. O momento magnético (
) para uma bobina é dado por:
onde:
-
é o número de voltas, -
é a corrente, -
é a área da bobina.
Passo 3
O torque magnético (
) que atua na bobina devido ao campo magnético externo (
) é dado por:
A magnitude do torque é:
Como estamos considerando que
é muito pequeno (
), podemos usar a aproximação
(onde
está em radianos). Então:
Passo 4
Segundo a segunda lei de Newton para rotação, o torque também está relacionado ao momento de inércia (
) e à aceleração angular (
):
A aceleração angular
é a derivada da velocidade angular em relação ao tempo, mas como estamos tratando de oscilação, podemos relacionar
à posição angular
.
Passo 5
Igualando as duas expressões para o torque:
Sabemos que para o movimento harmônico simples, a equação da segunda lei de Newton é:
onde
é uma constante. Comparando com a nossa equação, identificamos que:
Passo 6
A equação diferencial para o MHS é:
A solução dessa equação é um movimento oscilatório com frequência angular:
Passo 7
A frequência de oscilação (
) está relacionada à frequência angular (
) pela fórmula:
Substituindo
:
Resposta
A frequência de oscilação da bobina é:
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