Um capacitor de 1,6 mu F, inicialmente descarregado, é conectado em série a um resistor de 10 k Omega e a uma bateria de 5 V cuja resistência interna é desprezível. (a) Qual é a carga no capacitor após um tempo muito longo? (b) Quanto tempo será necessário para o capacitor atingir 99 % de sua carga final?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um circuito com um capacitor de totalmente descarregado, um resistor de e uma bateria de . A gente vai usar conceitos de circuitos RC (resistor-capacitor) para resolver. Precisamos encontrar duas coisas:
(a) A carga no capacitor depois de muito tempo ligado.
(b) Quanto tempo leva para o capacitor atingir dessa carga final.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). Quando um capacitor está sendo carregado em um circuito RC, ele acumula carga até atingir um valor máximo. Depois de um tempo muito longo, o capacitor fica completamente carregado e age como um circuito aberto, ou seja, a corrente para de passar.
A carga máxima que o capacitor pode armazenar é dada pela fórmula:
Q = C times V
Onde:
  • Q = 1,6 times 10^-6 F times 5 V = 8 times 10^-6 C é a carga,
  • Q = 8 mu C é a capacitância,
  • é a tensão da bateria.
Substituindo os valores fornecidos:
Convertendo para microcoulombs ( ):

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b). Queremos saber quanto tempo leva para o capacitor atingir Q(t) = Qfinal (1 - e^-tRC) da carga final. A equação que descreve a carga no capacitor ao longo do tempo é:
0,99 Qfinal = Qfinal (1 - e^-tRC)
Queremos encontrar 0,99 = 1 - e^-tRC quando e^-tRC = 1 - 0,99 = 0,01 :
-tRC = ln(0,01)
Dividindo ambos os lados por t = -RC ln(0,01) :
RC = 10 times 10^3 Omega times 1,6 times 10^-6 F = 0,016 s
Isolando o termo exponencial:
t = -0,016 times ln(0,01) approx -0,016 times (-4,605) approx 0,07368 s
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
t approx 73,68 ms
Resolvendo para :
Calculando (constante de tempo):
Substituindo na equação:
Convertendo para milissegundos:

Resposta

(a) A carga no capacitor após um tempo muito longo é de .
(b) O tempo necessário para o capacitor atingir da carga final é aproximadamente .

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