Um capacitor de
, inicialmente descarregado, é conectado em série a um resistor de
e a uma bateria de 5 V cuja resistência interna é desprezível. (a) Qual é a carga no capacitor após um tempo muito longo? (b) Quanto tempo será necessário para o capacitor atingir
de sua carga final?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um circuito com um capacitor de
totalmente descarregado, um resistor de
e uma bateria de
. A gente vai usar conceitos de circuitos RC (resistor-capacitor) para resolver. Precisamos encontrar duas coisas:
(a) A carga no capacitor depois de muito tempo ligado.
(b) Quanto tempo leva para o capacitor atingir
dessa carga final.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). Quando um capacitor está sendo carregado em um circuito RC, ele acumula carga até atingir um valor máximo. Depois de um tempo muito longo, o capacitor fica completamente carregado e age como um circuito aberto, ou seja, a corrente para de passar.
A carga máxima que o capacitor pode armazenar é dada pela fórmula:
Onde:
-
é a carga, -
é a capacitância, -
é a tensão da bateria.
Substituindo os valores fornecidos:
Convertendo para microcoulombs (
):
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b). Queremos saber quanto tempo leva para o capacitor atingir
da carga final. A equação que descreve a carga no capacitor ao longo do tempo é:
Queremos encontrar
quando
:
Dividindo ambos os lados por
:
Isolando o termo exponencial:
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Resolvendo para
:
Calculando
(constante de tempo):
Substituindo na equação:
Convertendo para milissegundos:
Resposta
(a) A carga no capacitor após um tempo muito longo é de
.
(b) O tempo necessário para o capacitor atingir
da carga final é aproximadamente
.