Um bobina retangular é composta de
espiras de um condutor filamentar. Calcule a indutância mútua no espaço livre entre essa bobina e um filamento retilíneo infinito no eixo
se o quatro vértices da bobina estão posicionados em:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma bobina retangular com
espiras e precisa calcular a indutância mútua entre essa bobina e um fio retilíneo infinito que está no eixo
. Para isso, vamos usar conceitos de eletromagnetismo, especificamente sobre campos magnéticos e fluxão magnética. O que a gente vai precisar é entender como calcular o campo magnético gerado pelo fio infinito e depois determinar quanto desse campo atravessa a bobina.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é o campo magnético criado por um fio retilíneo infinito que carrega uma corrente
. Esse campo é circular ao redor do fio e sua intensidade depende da distância
do ponto onde estamos calculando o campo até o fio. A fórmula do campo magnético (
) é dada por:
Aqui,
é a permeabilidade do vácuo,
é a corrente no fio,
é a distância ao fio, e
é a direção tangencial ao círculo ao redor do fio.
Passo 3
Agora, vamos visualizar a bobina retangular. As coordenadas dos vértices são
,
,
e
. Isso significa que a bobina está no plano
e está localizada a uma distância
do fio no eixo
. A distância
de qualquer ponto na bobina ao fio é dada por:
Passo 4
A indutância mútua (
) é definida como a relação entre a fluxão magnética (
) que passa pela bobina e a corrente (
) no fio:
Então, precisamos calcular
, que é a integral do campo magnético
atravessando a área da bobina:
Passo 5
Vamos calcular a fluxão magnética. Como a bobina está no plano
e o campo
é circular ao redor do fio, o ângulo entre
e a área
é de 90 graus. Portanto,
.
A área diferencial
da bobina pode ser expressa como
. Assim, a fluxão magnética fica:
Como o integrando não depende de
, podemos simplificar a integral sobre
:
A integral sobre
é simplesmente 1, então fica:
Integrando
, temos:
Aplicando os limites de 1 a 3:
Passo 6
Agora, substituímos a fluxão magnética
na fórmula da indutância mútua
:
Resposta
A indutância mútua entre a bobina retangular e o fio infinito é:
Onde
é a permeabilidade do vácuo e
é o número de espiras da bobina.
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Um bobina retangular é composta de
espiras de um condutor filamentar. Calcule a indutância mútua no espaço livre entre essa bobina e um filamento retilíneo infinito no eixo
se o quatro vértices da bobina estão posicionados em:
e
Utilizando a lei de Ampère na forma integral, calcule
em todo o espaço;