Um bobina retangular é composta de N espiras de um condutor filamentar. Calcule a indutância mútua no espaço livre entre essa bobina e um filamento retilíneo infinito no eixo z se o quatro vértices da bobina estão posicionados em: (1,1,0),(1,3,0),(1,3,1) e (1,1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma bobina retangular com espiras e precisa calcular a indutância mútua entre essa bobina e um fio retilíneo infinito que está no eixo . Para isso, vamos usar conceitos de eletromagnetismo, especificamente sobre campos magnéticos e fluxão magnética. O que a gente vai precisar é entender como calcular o campo magnético gerado pelo fio infinito e depois determinar quanto desse campo atravessa a bobina.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é o campo magnético criado por um fio retilíneo infinito que carrega uma corrente B = mu0 I2pi r , phi . Esse campo é circular ao redor do fio e sua intensidade depende da distância do ponto onde estamos calculando o campo até o fio. A fórmula do campo magnético ( ) é dada por:
Aqui, é a permeabilidade do vácuo, é a corrente no fio, é a distância ao fio, e é a direção tangencial ao círculo ao redor do fio.

Passo 3

Agora, vamos visualizar a bobina retangular. As coordenadas dos vértices são r = raizx^2 + y^2 = raiz1 + y^2 , , e . Isso significa que a bobina está no plano e está localizada a uma distância do fio no eixo . A distância de qualquer ponto na bobina ao fio é dada por:

Passo 4

A indutância mútua ( M = PhiI ) é definida como a relação entre a fluxão magnética ( Phi = integral B cdot dA ) que passa pela bobina e a corrente ( ) no fio:
Então, precisamos calcular , que é a integral do campo magnético atravessando a área da bobina:

Passo 5

Vamos calcular a fluxão magnética. Como a bobina está no plano Phi = integralz=0^1 integraly=1^3 mu0 I2pi raiz1 + y^2 , dy , dz e o campo Phi = mu0 I2pi integral1^3 dyraiz1 + y^2 times integral0^1 dz é circular ao redor do fio, o ângulo entre Phi = mu0 I2pi integral1^3 dyraiz1 + y^2 e a área integral dyraiz1 + y^2 = sinh^-1(y) = ln(y + raiz1 + y^2) é de 90 graus. Portanto, Phi = mu0 I2pi [ ln(3 + raiz10) - ln(1 + raiz2) ] .
A área diferencial da bobina pode ser expressa como . Assim, a fluxão magnética fica:
Como o integrando não depende de , podemos simplificar a integral sobre :
A integral sobre é simplesmente 1, então fica:
Integrando , temos:
Aplicando os limites de 1 a 3:

Passo 6

Agora, substituímos a fluxão magnética M = PhiI = mu02pi [ ln(3 + raiz10) - ln(1 + raiz2) ] na fórmula da indutância mútua :

Resposta

A indutância mútua entre a bobina retangular e o fio infinito é:
M = mu0 N2pi [ ln(3 + raiz10) - ln(1 + raiz2) ]
Onde é a permeabilidade do vácuo e é o número de espiras da bobina.

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