Mostre que as seguintes funções satisfazem a função de onda dada por:
partial^2 y(x, t)partial x^2=1v^2 partial^2 y(x, t)partial t^2
c) Qual é o sentido de propagação destas ondas? Como você pode garantir?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente entender o sentido de propagação das ondas dadas que satisfazem a equação de onda:
partial^2 y(x, t)partial x^2 = 1v^2 partial^2 y(x, t)partial t^2
Para resolver isso, vamos precisar saber como identificar a direção em que uma onda está se movendo olhando para a sua função matemática. Vamos usar um pouco de cálculo e física das ondas para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como as funções de onda geralmente se parecem. Uma onda se move para a direita ou para a esquerda dependendo de como está escrita. As formas típicas são:
y(x, t) = f(x - vt) (onda se movendo para a direita)
y(x, t) = f(x + vt) (onda se movendo para a esquerda)
Aqui, é alguma função que descreve a forma da onda, e é a velocidade da onda.

Passo 3

A ideia é que, se a função depender de , conforme o tempo aumenta, para manter a mesma forma da onda, precisa aumentar. Isso significa que a onda está se movendo na direção positiva de , ou seja, para a direita.
Por outro lado, se a função depender de , quando aumenta, para manter a forma da onda, precisa diminuir. Assim, a onda se move na direção negativa de , ou seja, para a esquerda.

Passo 4

Agora, aplicando isso às funções que satisfazem a equação de onda dada, se elas forem da forma , elas se propagam para a direita. Se forem da forma , elas se propagam para a esquerda.

Passo 5

Para garantir o sentido de propagação, podemos examinar os termos dentro das funções. O sinal de dentro do argumento indica a direção:
  • : propagação para a direita.
  • : propagação para a esquerda.
Isso funciona porque o termo representa como a posição muda com o tempo para manter a forma da onda constante enquanto ela se move.

Resposta

As ondas se propagam para a direita ou para a esquerda dependendo do termo dentro das funções. Se a função for da forma , a onda se move para a direita. Se for da forma , a onda se move para a esquerda. Isso é garantido observando o sinal de no argumento da função de onda.

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