Um bobina retangular é composta de espiras de um condutor filamentar. Calcule a indutância mútua no espaço livre entre essa bobina e um filamento retilíneo infinito no eixo se o quatro vértices da bobina estão posicionados em: e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma bobina retangular com espiras e precisa calcular a indutância mútua entre essa bobina e um fio infinito que está no eixo . Pra isso, precisamos usar conceitos de indutância mútua e magnetostática, que falam sobre como campos magnéticos de um condutor influenciam outro. Vamos precisar usar fórmulas de fluxo magnético e integrais para calcular essa indutância.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a posição da bobina e do fio. A bobina está no plano onde e seus vértices são , , e . Isso significa que a bobina está estendida do ao e do ao . O fio infinito está no eixo , ou seja, na posição para qualquer .

Passo 3

A indutância mútua entre dois condutores mede como o fluxo magnético gerado por uma corrente em um condutor induz uma força eletromotriz no outro. A fórmula geral para é:
onde é o fluxo magnético através da bobina devido à corrente no fio.

Passo 4

Vamos calcular o fluxo magnético . Para isso, usamos a Lei de Biot-Savart, que nos dá o campo magnético gerado pelo fio infinito. A expressão para o campo magnético ao redor de um fio infinito é:
onde é a permeabilidade do vácuo, é a corrente no fio, é a distância radial do fio, e é o vetor unitário na direção azimutal.

Passo 5

No nosso caso, a bobina está no plano , e o fio também está ao longo desse plano. A distância do ponto na bobina ao fio é simplesmente a coordenada porque o fio está na origem . Portanto, o campo magnético no ponto na bobina é:

Passo 6

Agora, o fluxo magnético através da bobina é a integral do campo magnético sobre a área da bobina. Como o campo está no sentido azimutal e a área da bobina está no plano , a contribuição do campo para o fluxo será uniforme ao longo da altura da bobina. Assim, podemos integrar em e :

Passo 7

Vamos resolver a integral. Primeiro, integramos em :
Agora, integramos em :

Passo 8

Substituindo os resultados das integrais na expressão do fluxo:

Passo 9

Finalmente, usando a relação da indutância mútua :

Resposta

A indutância mútua entre a bobina retangular e o fio infinito é:

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Sugestão: