Um bobina retangular é composta de N espiras de um condutor filamentar. Calcule a indutância mútua no espaço livre entre essa bobina e um filamento retilíneo infinito no eixo z se o quatro vértices da bobina estão posicionados em: (0,1,0),(0,3,0),(0,3,1) e (0,1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma bobina retangular com N espiras e precisa calcular a indutância mútua entre essa bobina e um fio infinito que está no eixo z. Pra isso, precisamos usar conceitos de indutância mútua e magnetostática, que falam sobre como campos magnéticos de um condutor influenciam outro. Vamos precisar usar fórmulas de fluxo magnético e integrais para calcular essa indutância.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a posição da bobina e do fio. A bobina está no plano onde x=0 e seus vértices são (0,1,0), (0,3,0), (0,3,1) e (0,1,1). Isso significa que a bobina está estendida do y=1 ao y=3 e do z=0 ao z=1. O fio infinito está no eixo z, ou seja, na posição (0,0,z) para qualquer z.

Passo 3

A indutância mútua M entre dois condutores mede como o fluxo magnético gerado por uma corrente em um condutor induz uma força eletromotriz no outro. A fórmula geral para M é:
M = PhiI
onde Phi é o fluxo magnético através da bobina devido à corrente I no fio.

Passo 4

Vamos calcular o fluxo magnético Phi. Para isso, usamos a Lei de Biot-Savart, que nos dá o campo magnético B gerado pelo fio infinito. A expressão para o campo magnético ao redor de um fio infinito é:
B = mu0 I2pi r phi
onde mu0 é a permeabilidade do vácuo, I é a corrente no fio, r é a distância radial do fio, e phi é o vetor unitário na direção azimutal.

Passo 5

No nosso caso, a bobina está no plano x=0, e o fio também está ao longo desse plano. A distância r do ponto na bobina ao fio é simplesmente a coordenada y porque o fio está na origem (0,0,z). Portanto, o campo magnético no ponto (0,y,z') na bobina é:
B = mu0 I2pi y phi

Passo 6

Agora, o fluxo magnético Phi através da bobina é a integral do campo magnético sobre a área da bobina. Como o campo está no sentido azimutal e a área da bobina está no plano x=0, a contribuição do campo para o fluxo será uniforme ao longo da altura z da bobina. Assim, podemos integrar em y e z:
Phi = integralz=0^1 integraly=1^3 mu0 I2pi y , dy , dz

Passo 7

Vamos resolver a integral. Primeiro, integramos em y:
integraly=1^3 1y , dy = ln(y) |1^3 = ln(3) - ln(1) = ln(3)
Agora, integramos em z:
integralz=0^1 dz = 1

Passo 8

Substituindo os resultados das integrais na expressão do fluxo:
Phi = mu0 I2pi ln(3) times 1 = mu0 I ln(3)2pi

Passo 9

Finalmente, usando a relação da indutância mútua M = PhiI:
M = mu0 ln(3)2pi

Resposta

A indutância mútua entre a bobina retangular e o fio infinito é:
M = mu0 ln(3)2pi

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