Um disco de raio pertence ao plano , com o eixo passando pelo seu centro. Uma carga superficial de densidade está presente no disco, que gira em volta do eixo com uma velocidade angular de . Calcule em todos os pontos do eixo .
Sugestão:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco de raio no plano , com o eixo passando pelo centro dele. Esse disco tem uma densidade superficial de carga e está girando ao redor do eixo com uma velocidade angular . Nosso objetivo é calcular o campo magnético em todos os pontos do eixo .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletromagnetismo, especificamente a Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a calcular campos magnéticos gerados por distribuições de corrente. Também vamos considerar a relação entre a densidade de carga superficial e a corrente resultante devido à rotação do disco.

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar a densidade de carga superficial com a densidade de corrente superficial . Como o disco está girando com velocidade angular , a velocidade tangencial em uma distância do centro é , onde é a direção tangencial.
A corrente superficial é dada por:

Passo 3

Agora, vamos calcular o campo magnético no eixo devido a essa distribuição de corrente. Para isso, usamos a Lei de Biot-Savart para uma corrente circular:
Como nosso disco está composto por infinitas correntes circulares concêntricas, vamos integrar sobre todo o disco.

Passo 4

Vamos considerar um anel de raio e espessura no disco. A corrente nesse anel é , pois e o perímetro do anel é .
Então:

Passo 5

O campo magnético no eixo devido a esse anel é dado por:
onde é a distância ao longo do eixo .
Substituindo :

Passo 6

Agora, integramos de até para obter o campo total no ponto :

Passo 7

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição , então . Ajustando a integral:
Simplificando:

Passo 8

Calculando as integrais:
Substituindo nos limites:
Simplificando:

Passo 9

Assumindo que (pela simetria, o resultado é o mesmo para ):

Resposta

O campo magnético no eixo é dado por:

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