Um disco de raio a pertence ao plano x y, com o eixo z passando pelo seu centro. Uma carga superficial de densidade rhos está presente no disco, que gira em volta do eixo z com uma velocidade angular de Omega rd / s. Calcule H em todos os pontos do eixo z.
Sugestão:
integral x^2 d xraiz(x^2+a^2)^3=-xraizx^2+a^2+ln (x+raizx^2+a^2)+C1

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco de raio no plano , com o eixo passando pelo centro dele. Esse disco tem uma densidade superficial de carga e está girando ao redor do eixo com uma velocidade angular . Nosso objetivo é calcular o campo magnético em todos os pontos do eixo .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletromagnetismo, especificamente a Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a calcular campos magnéticos gerados por distribuições de corrente. Também vamos considerar a relação entre a densidade de carga superficial e a corrente resultante devido à rotação do disco.

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar a densidade de carga superficial K = rhos v = rhos Omega r , phi com a densidade de corrente superficial . Como o disco está girando com velocidade angular , a velocidade tangencial em uma distância do centro é , onde é a direção tangencial.
A corrente superficial é dada por:

Passo 3

Agora, vamos calcular o campo magnético dH = I , dl times r4pi r^3 no eixo devido a essa distribuição de corrente. Para isso, usamos a Lei de Biot-Savart para uma corrente circular:
Como nosso disco está composto por infinitas correntes circulares concêntricas, vamos integrar sobre todo o disco.

Passo 4

Vamos considerar um anel de raio dI = rhos Omega r cdot 2pi r , dr = 2pi rhos Omega r^2 , dr e espessura no disco. A corrente nesse anel é , pois e o perímetro do anel é .
Então:

Passo 5

O campo magnético dH = dI cdot r , dr2(r^2 + z^2)^3/2 no eixo dH = 2pi rhos Omega r^2 , dr cdot r2(r^2 + z^2)^3/2 = pi rhos Omega r^3 , dr(r^2 + z^2)^3/2 devido a esse anel é dado por:
onde é a distância ao longo do eixo .
Substituindo :

Passo 6

Agora, integramos H(z) = pi rhos Omega integral0^a r^3 , dr(r^2 + z^2)^3/2 de até para obter o campo total no ponto :

Passo 7

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição H(z) = pi rhos Omega2 integralz^2^a^2 + z^2 (u - z^2)u^3/2 , du , então H(z) = pi rhos Omega2 ( integralz^2^a^2 + z^2 u^-1/2 , du - z^2 integralz^2^a^2 + z^2 u^-3/2 , du ) . Ajustando a integral:
Simplificando:

Passo 8

Calculando as integrais:
integral u^-1/2 , du = 2u^1/2 + C
integral u^-3/2 , du = -2u^-1/2 + C
Substituindo nos limites:
H(z) = pi rhos Omega2 [ 2(u^1/2) g|z^2^a^2+z^2 - z^2 ( -2u^-1/2 ) g|z^2^a^2+z^2 ]
Simplificando:
H(z) = pi rhos Omega [ ( raiza^2 + z^2 - |z| ) + z^2 ( 1|z| - 1raiza^2 + z^2 ) ]

Passo 9

Assumindo que H(z) = pi rhos Omega ( raiza^2 + z^2 - z + z^2z - z^2raiza^2 + z^2 ) (pela simetria, o resultado é o mesmo para H(z) = pi rhos Omega ( raiza^2 + z^2 - z + z - z^2raiza^2 + z^2 ) ):
H(z) = pi rhos Omega ( raiza^2 + z^2 - z^2raiza^2 + z^2 )
H(z) = pi rhos Omega ( a^2 + z^2 - z^2raiza^2 + z^2 ) = pi rhos Omega ( a^2raiza^2 + z^2 )
H(z) = pi rhos Omega a^2(a^2 + z^2)^1/2

Resposta

O campo magnético H(z) = pi rhos Omega a^2raiza^2 + z^2 no eixo é dado por:

Exercícios relacionados