A força resultante que atua sobre uma partícula de massa
à distância
do centro da terra, quando
, é
, onde
é a massa da terra e
o raio da terra. Mostrar que a força resultante que atua sobre uma partícula de massa
à distância
do centro do túnel é dada por
e que, por isso, o movimento é harmônico simples. (b) Mostrar que o período do movimento está dado por
e achar o seu valor em minutos. (Este período é também o de um satélite em órbita nas vizinhanças da superfície da terra e é independente do tamanho do túnel.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a força resultante que atua sobre uma partícula dentro da Terra e como isso nos leva a um movimento harmônico simples. A gente vai precisar entender um pouco de gravitação e movimento oscilatório para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, a força resultante dentro da Terra é dada por
. Aqui,
é a constante gravitacional,
é a massa da partícula,
é a massa da Terra,
é o raio da Terra e
é a distância do centro da Terra.
Passo 3
Queremos mostrar que a força a uma distância
do centro do túnel é
. Basicamente, substituímos
por
, porque estamos considerando a posição dentro do túnel na Terra.
Passo 4
Agora, observamos que a força é proporcional a
, o que é a característica de um movimento harmônico simples (MHS). No MHS, a força é sempre restauradora e proporcional à posição, o que leva a oscilações periódicas.
Passo 5
Para encontrar o período
do movimento, usamos a fórmula do MHS:
, onde
é a aceleração da gravidade na superfície da Terra. Isso mostra que o período é independente do tamanho do túnel e também é o mesmo de um satélite em órbita próxima à superfície.
Resposta
O período do movimento é
. Calculando com os valores típicos, isso dá aproximadamente 84,5 minutos.