A força resultante que atua sobre uma partícula de massa à distância do centro da terra, quando , é , onde é a massa da terra e o raio da terra. Mostrar que a força resultante que atua sobre uma partícula de massa à distância do centro do túnel é dada por e que, por isso, o movimento é harmônico simples. (b) Mostrar que o período do movimento está dado por e achar o seu valor em minutos. (Este período é também o de um satélite em órbita nas vizinhanças da superfície da terra e é independente do tamanho do túnel.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a força resultante que atua sobre uma partícula dentro da Terra e como isso nos leva a um movimento harmônico simples. A gente vai precisar entender um pouco de gravitação e movimento oscilatório para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, a força resultante dentro da Terra é dada por . Aqui, é a constante gravitacional, é a massa da partícula, é a massa da Terra, é o raio da Terra e é a distância do centro da Terra.

Passo 3

Queremos mostrar que a força a uma distância do centro do túnel é . Basicamente, substituímos por , porque estamos considerando a posição dentro do túnel na Terra.

Passo 4

Agora, observamos que a força é proporcional a , o que é a característica de um movimento harmônico simples (MHS). No MHS, a força é sempre restauradora e proporcional à posição, o que leva a oscilações periódicas.

Passo 5

Para encontrar o período do movimento, usamos a fórmula do MHS: , onde é a aceleração da gravidade na superfície da Terra. Isso mostra que o período é independente do tamanho do túnel e também é o mesmo de um satélite em órbita próxima à superfície.

Resposta

O período do movimento é . Calculando com os valores típicos, isso dá aproximadamente 84,5 minutos.

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