Um oscilador amortecido tem uma freqüência
que é
menor que a freqüência do oscilador sem amortecimento. (a) Qual o fator de decréscimo da amplitude em cada oscilação? (b) Qual o fator de redução da energia em cada oscilação?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre oscilações amortecidas! A questão diz que a frequência do oscilador com amortecimento (
) é 10% menor que a frequência sem amortecimento (
). Precisamos descobrir:
a) O fator de decréscimo da amplitude em cada oscilação.
b) O fator de redução da energia em cada oscilação.
Para isso, vamos usar conceitos de mecânica vibracional e equações de amortecimento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a amplitude muda com o tempo em um sistema amortecido. A amplitude
de um oscilador amortecido é dada por:
Onde:
-
é a amplitude inicial. -
é a constante de amortecimento. -
é o tempo.
O fator
representa o quanto a amplitude diminui com o tempo.
Passo 3
Sabemos que a frequência do oscilador amortecido (
) está relacionada à frequência sem amortecimento (
) pela relação:
Dado que
é 10% menor que
, podemos escrever:
Vamos usar essa equação para encontrar a constante de amortecimento (
).
Passo 4
Vamos igualar as expressões das frequências:
Dividindo ambos os lados por
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Isolando
:
Passo 5
Agora, para encontrar o fator de decréscimo da amplitude em cada oscilação, precisamos considerar o tempo que leva para uma oscilação completa, que é o período
.
Sabemos que:
Como a amplitude diminui a cada período, o fator de decréscimo
é dado por:
Substituindo
e
:
Isso significa que a amplitude se reduz a aproximadamente 4,8% a cada oscilação.
Passo 6
Para encontrar o fator de redução da energia em cada oscilação, lembramos que a energia de um oscilador é proporcional ao quadrado da amplitude:
Então, se a amplitude se reduz pelo fator
, a energia se reduz pelo fator
:
Isso significa que a energia se reduz a aproximadamente 0,23% a cada oscilação.
Resposta
a) O fator de decréscimo da amplitude em cada oscilação é aproximadamente 4,8%.
b) O fator de redução da energia em cada oscilação é aproximadamente 0,23%.