Um oscilador amortecido tem uma freqüência omega^prime que é 10 % menor que a freqüência do oscilador sem amortecimento. (a) Qual o fator de decréscimo da amplitude em cada oscilação? (b) Qual o fator de redução da energia em cada oscilação?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre oscilações amortecidas! A questão diz que a frequência do oscilador com amortecimento ( omega') é 10% menor que a frequência sem amortecimento ( omega). Precisamos descobrir:
a) O fator de decréscimo da amplitude em cada oscilação.
b) O fator de redução da energia em cada oscilação.
Para isso, vamos usar conceitos de mecânica vibracional e equações de amortecimento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a amplitude muda com o tempo em um sistema amortecido. A amplitude A(t) de um oscilador amortecido é dada por:
A(t) = A0 e^-gamma t
Onde:
  • A0 é a amplitude inicial.
  • gamma é a constante de amortecimento.
  • t é o tempo.
O fator e^-gamma t representa o quanto a amplitude diminui com o tempo.

Passo 3

Sabemos que a frequência do oscilador amortecido ( omega') está relacionada à frequência sem amortecimento ( omega) pela relação:
omega' = omega raiz1 - (gammaomega)^2
Dado que omega' é 10% menor que omega, podemos escrever:
omega' = 0,9,omega
Vamos usar essa equação para encontrar a constante de amortecimento ( gamma).

Passo 4

Vamos igualar as expressões das frequências:
0,9,omega = omega raiz1 - (gammaomega)^2
Dividindo ambos os lados por omega:
0,9 = raiz1 - (gammaomega)^2
Elevando ambos os lados ao quadrado:
(0,9)^2 = 1 - (gammaomega)^2 0,81 = 1 - (gammaomega)^2
Isolando (gammaomega)^2:
(gammaomega)^2 = 1 - 0,81 (gammaomega)^2 = 0,19 gammaomega = raiz0,19 gamma = omega raiz0,19 gamma approx 0,436,omega

Passo 5

Agora, para encontrar o fator de decréscimo da amplitude em cada oscilação, precisamos considerar o tempo que leva para uma oscilação completa, que é o período T.
Sabemos que:
T = 2piomega'
Como a amplitude diminui a cada período, o fator de decréscimo f é dado por:
f = e^-gamma T = e^-gamma 2piomega'
Substituindo gamma approx 0,436,omega e omega' = 0,9,omega:
f = e^-0,436,omega cdot 2pi0,9,omega f = e^- 0,436 cdot 2pi0,9 f approx e^-3.04 f approx 0,048
Isso significa que a amplitude se reduz a aproximadamente 4,8% a cada oscilação.

Passo 6

Para encontrar o fator de redução da energia em cada oscilação, lembramos que a energia de um oscilador é proporcional ao quadrado da amplitude:
E propto A^2
Então, se a amplitude se reduz pelo fator f, a energia se reduz pelo fator f^2:
fE = (f)^2 fE = (0,048)^2 fE approx 0,0023
Isso significa que a energia se reduz a aproximadamente 0,23% a cada oscilação.

Resposta

a) O fator de decréscimo da amplitude em cada oscilação é aproximadamente 4,8%.
b) O fator de redução da energia em cada oscilação é aproximadamente 0,23%.

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