Um oscilador amortecido tem uma freqüência que é menor que a freqüência do oscilador sem amortecimento. (a) Qual o fator de decréscimo da amplitude em cada oscilação? (b) Qual o fator de redução da energia em cada oscilação?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre oscilações amortecidas! A questão diz que a frequência do oscilador com amortecimento ( ) é 10% menor que a frequência sem amortecimento ( ). Precisamos descobrir:
a) O fator de decréscimo da amplitude em cada oscilação.
b) O fator de redução da energia em cada oscilação.
Para isso, vamos usar conceitos de mecânica vibracional e equações de amortecimento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a amplitude muda com o tempo em um sistema amortecido. A amplitude de um oscilador amortecido é dada por:
Onde:
  • é a amplitude inicial.
  • é a constante de amortecimento.
  • é o tempo.
O fator representa o quanto a amplitude diminui com o tempo.

Passo 3

Sabemos que a frequência do oscilador amortecido ( ) está relacionada à frequência sem amortecimento ( ) pela relação:
Dado que é 10% menor que , podemos escrever:
Vamos usar essa equação para encontrar a constante de amortecimento ( ).

Passo 4

Vamos igualar as expressões das frequências:
Dividindo ambos os lados por :
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Isolando :

Passo 5

Agora, para encontrar o fator de decréscimo da amplitude em cada oscilação, precisamos considerar o tempo que leva para uma oscilação completa, que é o período .
Sabemos que:
Como a amplitude diminui a cada período, o fator de decréscimo é dado por:
Substituindo e :
Isso significa que a amplitude se reduz a aproximadamente 4,8% a cada oscilação.

Passo 6

Para encontrar o fator de redução da energia em cada oscilação, lembramos que a energia de um oscilador é proporcional ao quadrado da amplitude:
Então, se a amplitude se reduz pelo fator , a energia se reduz pelo fator :
Isso significa que a energia se reduz a aproximadamente 0,23% a cada oscilação.

Resposta

a) O fator de decréscimo da amplitude em cada oscilação é aproximadamente 4,8%.
b) O fator de redução da energia em cada oscilação é aproximadamente 0,23%.

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