Para uma bola de aço (diâmetro 2 mm e densidade 7,8 g / cm^3 ) deixada cair em glicerina (densidade 1,3 g / cm^3 e viscosidade 12 Ns / m^2 a CNTP), a força dominante é o arrasto linear.
d) Quanto tempo após ter sido largada a bola atingirá 95 % da velocidade limite?

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma bola de aço com diâmetro de 2 mm e densidade de 7,8 , g/cm^3 que está sendo largada em glicerina, que tem densidade de 1,3 , g/cm^3 e viscosidade de 12 , Ns/m^2. A gente quer descobrir quanto tempo leva para a bola atingir 95% da velocidade que ela vai ter no final (a chamada velocidade terminal). Pra resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica, especificamente o equilíbrio entre a força da gravidade puxando a bola para baixo e a força de arrasto da glicerina empurrando ela para cima.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa da bola de aço. Sabemos que a densidade ( rho) é massa por volume: rho = mV. Então, para achar a massa m, precisamos calcular o volume V da bola.
O volume de uma esfera é dado por:
V = 43 pi r^3
Onde r é o raio. Como o diâmetro é 2 mm, o raio r é 1 mm, ou 0,001, m.
Calculando:
V = 43 pi (0,001)^3 = 43 pi times 10^-9 approx 4,19 times 10^-9 , m^3
Agora, convertendo a densidade de g/cm³ para kg/m³ (já que 1 g/cm³ = 1000 kg/m³):
rho = 7,8 , g/cm^3 = 7800 , kg/m^3
Então, a massa m é:
m = rho times V = 7800 times 4,19 times 10^-9 approx 3,271 times 10^-5 , kg

Passo 3

Agora, vamos encontrar a força de arrasto c. Como o arrasto é linear, a fórmula que usamos é:
c = 6 pi eta r
Onde eta é a viscosidade da glicerina e r é o raio da bola.
Substituindo os valores:
c = 6 pi times 12 times 0,001 = 6 times 3,1416 times 12 times 0,001 approx 0,226 , Ns/m

Passo 4

Vamos agora calcular a velocidade terminal ( vterminal). Ela ocorre quando a força da gravidade é igual à força de arrasto:
mg = c vterminal implies vterminal = mgc
Substituindo os valores:
vterminal = 3,271 times 10^-5 times 9,810,226 approx 0,0003200,226 approx 0,00142 , m/s

Passo 5

Agora, queremos saber quanto tempo t leva para a bola atingir 95% dessa velocidade terminal. A equação para a velocidade em função do tempo quando a força de arrasto é linear é:
v(t) = vterminal (1 - e^-cm t)
Queremos que v(t) = 0,95 , vterminal:
0,95 = 1 - e^-cm t implies e^-cm t = 0,05
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
-cm t = ln(0,05) implies t = -mc ln(0,05)
Calculando:
t = -3,271 times 10^-50,226 times ln(0,05) approx -1,449 times 10^-4 times (-2,996) approx 4,34 times 10^-4 , segundos

Resposta

A bola de aço atinge 95% da sua velocidade terminal aproximadamente 4,34 times 10^-4 segundos após ser largada na glicerina.

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