Para uma bola de aço (diâmetro 2 mm e densidade
) deixada cair em glicerina (densidade
e viscosidade
a CNTP), a força dominante é o arrasto linear.
d) Quanto tempo após ter sido largada a bola atingirá
da velocidade limite?
d) Quanto tempo após ter sido largada a bola atingirá
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma bola de aço com diâmetro de 2 mm e densidade de
que está sendo largada em glicerina, que tem densidade de
e viscosidade de
. A gente quer descobrir quanto tempo leva para a bola atingir 95% da velocidade que ela vai ter no final (a chamada velocidade terminal). Pra resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica, especificamente o equilíbrio entre a força da gravidade puxando a bola para baixo e a força de arrasto da glicerina empurrando ela para cima.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a massa da bola de aço. Sabemos que a densidade (
) é massa por volume:
. Então, para achar a massa
, precisamos calcular o volume
da bola.
O volume de uma esfera é dado por:
Onde
é o raio. Como o diâmetro é 2 mm, o raio
é 1 mm, ou
.
Calculando:
Agora, convertendo a densidade de g/cm³ para kg/m³ (já que 1 g/cm³ = 1000 kg/m³):
Então, a massa
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a força de arrasto
. Como o arrasto é linear, a fórmula que usamos é:
Onde
é a viscosidade da glicerina e
é o raio da bola.
Substituindo os valores:
Passo 4
Vamos agora calcular a velocidade terminal (
). Ela ocorre quando a força da gravidade é igual à força de arrasto:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, queremos saber quanto tempo
leva para a bola atingir 95% dessa velocidade terminal. A equação para a velocidade em função do tempo quando a força de arrasto é linear é:
Queremos que
:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Calculando:
Resposta
A bola de aço atinge 95% da sua velocidade terminal aproximadamente
segundos após ser largada na glicerina.