Para uma bola de aço (diâmetro 2 mm e densidade 7,8 g / cm^3 ) deixada cair em glicerina (densidade 1,3 g / cm^3 e viscosidade 12 Ns / m^2 a CNTP), a força dominante é o arrasto linear.
e) Calcule a razão entre as forças de arrasto quadrático e linear para comprovar que o arrasto sobre a esfera é essencialmente linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a razão entre as forças de arrasto quadrático e linear atuando sobre uma bola de aço que está caindo na glicerina. O objetivo é confirmar se o arrasto sobre a esfera é basicamente linear. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre as forças de arrasto e usar as fórmulas correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que existem dois tipos principais de forças de arrasto que atuam sobre um objeto em movimento em um fluido:
  1. Arrasto Linear: Depende da velocidade $ v $ do objeto e é dado por:
    v
    onde $ k $ é uma constante que depende das propriedades do fluido e da geometria do objeto.
  2. Arrasto Quadrático: Depende do quadrado da velocidade $ v $ do objeto e é dado por:
    Flinear = k cdot v á
    onde:
    • $ C_d $ é o coeficiente de arrasto,
    • $ \rho $ é a densidade do fluido,
    • $ A $ é a área da seção transversal do objeto.
Nosso objetivo é calcular a razão $ \frac{F_{quadrático}}{F_{linear}} $ para ver qual das duas forças domina.

Passo 3

Vamos calcular cada uma das forças separadamente.
Primeiro, precisamos determinar alguns parâmetros:
  • Diâmetro da bola: $ d = 2 , mm = 2 \times 10^{-3} , m $
  • Raio da bola: $ r = \frac{d}{2} = 1 \times 10^{-3} , m $
  • Área da seção transversal: $ A = \pi r^2 = \pi (1 \times 10{-3})2 = \pi \times 10^{-6} , m^2 $
Agora, vamos calcular a força de arrasto quadrático. Para isso, precisamos do coeficiente de arrasto $ C_d $. Para esferas em regime de fluxo laminar (baixo número de Reynolds), $ C_d $ pode ser estimado pela fórmula de Stokes:
d = 2 , mm = 2 times 10^-3 , m
Onde $ Re $ é o número de Reynolds, dado por:
r = d2 = 1 times 10^-3 , m
Aqui:
  • $ \rho = 1,3 , g/cm^3 = 1300 , kg/m^3 $ (densidade da glicerina),
  • $ \mu = 12 , Ns/m^2 $ (viscosidade da glicerina).
Entretanto, para simplificar, vamos considerar que o fluxo está na região onde o arrasto linear domina, então o coeficiente $ C_d $ será alto, tornando a força quadrática menor. Assim, para a razão, podemos focar nas expressões proporcionais.
A razão entre as forças é:
A = pi r^2 = pi (1 times 10^-3)^2 = pi times 10^-6 , m^2 á
Sem informação específica sobre $ k $, podemos afirmar que para baixas velocidades (onde $ C_d $ é grande), a força linear domina.

Passo 4

Com base no que calculamos e na teoria, percebemos que:
FquadráticoFlinear propto v á
Isso significa que à medida que a velocidade aumenta, a força quadrática cresce mais rápido que a linear. Porém, dado que estamos lidando com uma bola microscópica e viscosidade alta da glicerina, a velocidade será baixa, fazendo com que a força linear seja muito maior que a quadrática.

Resposta

A razão entre as forças de arrasto quadrático e linear é muito menor que 1, confirmando que o arrasto sobre a esfera é essencialmente linear.

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