Um grânulo esférico de metal com diâmetro D é lançado com velocidade de 1,0 m / s em um ângulo de 45^circ com a horizontal (piso). Determine o alcance horizontal, assumindo que:
b) o grânulo é de alumínio ( rho approx 2,7 g / cm^3 ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um grânulo esférico de metal com diâmetro $ D $ que é lançado com uma velocidade de $ 1,0 , m/s $ em um ângulo de $ 45^\circ $ em relação à horizontal. A missão é descobrir o alcance horizontal desse grânulo, ou seja, quanta distância ele vai percorrer na direção horizontal antes de cair no chão.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática de projeções, que nos ajudam a analisar movimentos em duas dimensões (horizontal e vertical). Além disso, vamos precisar calcular a massa do grânulo usando a densidade do alumínio fornecida ($ \rho \approx 2,7 , g/cm^3 $).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a massa do grânulo. Sabemos que a densidade ($ \rho $) é a massa por unidade de volume:
rho
Onde:
  • $ m $ é a massa
  • $ V $ é o volume
Como o grânulo é esférico, o volume de uma esfera é dado por:
rho = mV
Mas temos o diâmetro $ D $, então o raio $ r $ é:
m
Substituindo:
V
Agora, isolamos a massa:
V = 43 pi r^3
Vamos converter a densidade para unidades SI (kg/m³) para facilitar os cálculos. Sabemos que $ 1 , g/cm^3 = 1000 , kg/m^3 $, então:
D
Portanto:
r

Passo 3

Agora, vamos decompor a velocidade inicial $ v_0 = 1,0 , m/s $ nos componentes horizontal ($ v_{0x} v0 = 1,0 , m/s v_{0y} $).
Como o ângulo de lançamento é $ 45^\circ $, temos:
v0x
Sabendo que $ \cos(45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, então:
v0y

Passo 4

Vamos calcular o tempo que o grânulo fica no ar ($ t $). Para isso, analisamos o movimento vertical. A equação do movimento vertical é:
t
Onde $ y(t) $ é a altura em função do tempo e $ g $ é a aceleração da gravidade ($ 9,81 , m/s^2 $).
No ponto mais alto, a velocidade vertical é zero, e o tempo para subir é:
y(t) = v0y t - 12 g t^2
O tempo total de voo é o dobro disso (subida e descida):
y(t)

Passo 5

Por fim, vamos calcular o alcance horizontal ($ R $). Sabemos que a componente horizontal da velocidade é constante (pois estamos ignorando a resistência do ar):
R

Resposta

O alcance horizontal do grânulo de alumínio é aproximadamente $ 0,10 , metros $.

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