Considere um objeto que é arremessado verticalmente para com velocidade inicial
em um meio linear.
c) Mostre que, à medida que o coeficiente de arrasto se aproxima de zero, sua última resposta reduz-se ao conhecido resultado
para um lançamento no vácuo.
c) Mostre que, à medida que o coeficiente de arrasto se aproxima de zero, sua última resposta reduz-se ao conhecido resultado
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um objeto que é arremessado para cima com uma velocidade inicial $ v_{0} $ em um meio com resistência linear, ou seja, com um coeficiente de arrasto. O que a gente precisa fazer é mostrar que, quando o coeficiente de arrasto se aproxima de zero, a altura máxima que o objeto alcança se torna $ y_{máx} = \frac{v_{0}^{2}}{2g} $, que é o resultado conhecido para um lançamento no vácuo. Para isso, vamos precisar usar as equações de movimento com resistência do ar e entender o que acontece quando o arrasto diminui.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a resistência do ar afeta o movimento. Quando um objeto se move para cima em um meio com resistência linear, a força de arrasto é proporcional à velocidade, ou seja, $ F_{arrasto} = -kv $, onde $ k $ é o coeficiente de arrasto e $ v $ é a velocidade.
Passo 3
A equação de movimento considerando a força de arrasto e a gravidade fica:
Aqui, $ m $ é a massa do objeto, $ g $ é a aceleração da gravidade, e $ \frac{dv}{dt} $ é a aceleração.
Passo 4
Vamos rearranjar a equação para resolver para $ \frac{dv}{dt} $:
Essa é uma equação diferencial linear que descreve como a velocidade muda com o tempo.
Passo 5
Para achar a altura máxima, precisamos encontrar quando a velocidade $ v $ chega a zero. Então, integramos a equação para encontrar a velocidade em função do tempo e depois a posição em função do tempo.
Passo 6
Mas como queremos analisar o caso quando $ k $ se aproxima de zero, ou seja, sem resistência do ar, a equação simplifica. Quando $ k \rightarrow 0 $, a equação de movimento fica:
Essa é a equação de queda livre no vácuo.
Passo 7
Integrando $ \frac{dv}{dt} = -g $, obtemos:
Isso mostra que a velocidade diminui linearmente com o tempo devido à gravidade.
Passo 8
Agora, para encontrar o tempo $ t $ quando a velocidade atinge zero (altura máxima):
Esse é o tempo que leva para o objeto parar de subir.
Passo 9
Para encontrar a altura máxima, integramos a velocidade em função do tempo até $ t = \frac{v_{0}}{g} $:
Passo 10
Calculando a integral:
Passo 11
Simplificando:
Resposta
Então, mostrando que quando o coeficiente de arrasto $ k $ se aproxima de zero, a altura máxima é $ y_{máx} = \frac{v_{0}^{2}}{2g} $, que é o resultado esperado para um lançamento no vácuo.