Considere um objeto que é arremessado verticalmente para com velocidade inicial v0 em um meio linear.
c) Mostre que, à medida que o coeficiente de arrasto se aproxima de zero, sua última resposta reduz-se ao conhecido resultado y máx =v0^2 / 2 gá para um lançamento no vácuo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um objeto que é arremessado para cima com uma velocidade inicial $ v_{0} $ em um meio com resistência linear, ou seja, com um coeficiente de arrasto. O que a gente precisa fazer é mostrar que, quando o coeficiente de arrasto se aproxima de zero, a altura máxima que o objeto alcança se torna $ y_{máx} = \frac{v_{0}^{2}}{2g} $, que é o resultado conhecido para um lançamento no vácuo. Para isso, vamos precisar usar as equações de movimento com resistência do ar e entender o que acontece quando o arrasto diminui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a resistência do ar afeta o movimento. Quando um objeto se move para cima em um meio com resistência linear, a força de arrasto é proporcional à velocidade, ou seja, $ F_{arrasto} = -kv $, onde $ k $ é o coeficiente de arrasto e $ v $ é a velocidade.

Passo 3

A equação de movimento considerando a força de arrasto e a gravidade fica:
m dvdt = -mg - kv
Aqui, $ m $ é a massa do objeto, $ g $ é a aceleração da gravidade, e $ \frac{dv}{dt} $ é a aceleração.

Passo 4

Vamos rearranjar a equação para resolver para $ \frac{dv}{dt} $:
dvdt
Essa é uma equação diferencial linear que descreve como a velocidade muda com o tempo.

Passo 5

Para achar a altura máxima, precisamos encontrar quando a velocidade $ v $ chega a zero. Então, integramos a equação para encontrar a velocidade em função do tempo e depois a posição em função do tempo.

Passo 6

Mas como queremos analisar o caso quando $ k $ se aproxima de zero, ou seja, sem resistência do ar, a equação simplifica. Quando $ k \rightarrow 0 $, a equação de movimento fica:
k
Essa é a equação de queda livre no vácuo.

Passo 7

Integrando $ \frac{dv}{dt} = -g $, obtemos:
dvdt = -g
Isso mostra que a velocidade diminui linearmente com o tempo devido à gravidade.

Passo 8

Agora, para encontrar o tempo $ t $ quando a velocidade atinge zero (altura máxima):
t
Esse é o tempo que leva para o objeto parar de subir.

Passo 9

Para encontrar a altura máxima, integramos a velocidade em função do tempo até $ t = \frac{v_{0}}{g} $:
t = v0g á

Passo 10

Calculando a integral:
ymáx = [ v0t - 12>^2 ]0^v0g = v0(v0g) - 12g(v0g)^2 á

Passo 11

Simplificando:
ymáx = v0^2g - 12 cdot v0^2g = v0^22g á

Resposta

Então, mostrando que quando o coeficiente de arrasto $ k $ se aproxima de zero, a altura máxima é $ y_{máx} = \frac{v_{0}^{2}}{2g} $, que é o resultado esperado para um lançamento no vácuo.

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