O teorema de Taylor afirma que, para qualquer função diferenciável
, o valor de
em um ponto
pode ser expresso como uma série infinita envolvendo
e suas derivadas no ponto
, onde
é um pequeno valor:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o Teorema de Taylor, que é um conceito importante em Cálculo, especificamente em Análise de Funções. Basicamente, ele nos ajuda a aproximar o valor de uma função $ f(x) $ em um ponto próximo $ x + \delta $ usando informações sobre suas derivadas em $ x $. Para resolver e entender isso, vamos precisar saber o que são derivadas e como elas são usadas para criar séries infinitas que aproximam funções.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é uma derivada. A derivada de uma função, denotada por $ f’(x) $, nos dá a taxa de variação da função em relação a $ x $. Ou seja, indica quão rápido $ f(x) $ está mudando quando $ x $ muda.
Passo 3
Agora, o Teorema de Taylor usa essas derivadas para aproximar $ f(x + \delta) $. A ideia é que, se conhecemos $ f(x) $ e suas derivadas em $ x $, podemos construir uma soma que aproxima $ f(x + \delta) $.
Passo 4
A série de Taylor é construída adicionando termos que envolvem as derivadas de ordem superior. O primeiro termo é apenas $ f(x) $, que é o valor da função no ponto $ x $. O próximo termo é $ f’(x) \delta $, que leva em conta a taxa de variação da função. Depois, adicionamos $ \frac{1}{2!} f’’(x) \delta^2 $, que inclui a segunda derivada, e assim por diante.
Passo 5
Vamos entender o porquê dos fatores $ \frac{1}{n!} $ nos termos. Esses fatores vêm da expansão de funções exponenciais e garantem que a série converja para a função original quando somamos infinitos termos. Sem esses fatores, a aproximação não seria precisa.
Passo 6
Então, juntando tudo, a série de Taylor para $ f(x + \delta) $ fica assim:
Essa soma infinita de termos nos dá uma aproximação cada vez mais precisa de $ f(x + \delta) $ à medida que adicionamos mais termos.
Resposta
O Teorema de Taylor nos permite expressar $ f(x + \delta) $ como uma série infinita de termos envolvendo as derivadas de $ f $ em $ x $: