O teorema de Taylor afirma que, para qualquer função diferenciável f(x), o valor de f em um ponto (x+de pode ser expresso como uma série infinita envolvendo f e suas derivadas no ponto x, onde de é um pequeno valor:
f(x+de

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o Teorema de Taylor, que é um conceito importante em Cálculo, especificamente em Análise de Funções. Basicamente, ele nos ajuda a aproximar o valor de uma função $ f(x) $ em um ponto próximo $ x + \delta $ usando informações sobre suas derivadas em $ x $. Para resolver e entender isso, vamos precisar saber o que são derivadas e como elas são usadas para criar séries infinitas que aproximam funções.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é uma derivada. A derivada de uma função, denotada por $ f’(x) $, nos dá a taxa de variação da função em relação a $ x $. Ou seja, indica quão rápido $ f(x) $ está mudando quando $ x $ muda.

Passo 3

Agora, o Teorema de Taylor usa essas derivadas para aproximar $ f(x + \delta) $. A ideia é que, se conhecemos $ f(x) $ e suas derivadas em $ x $, podemos construir uma soma que aproxima $ f(x + \delta) $.

Passo 4

A série de Taylor é construída adicionando termos que envolvem as derivadas de ordem superior. O primeiro termo é apenas $ f(x) $, que é o valor da função no ponto $ x $. O próximo termo é $ f’(x) \delta $, que leva em conta a taxa de variação da função. Depois, adicionamos $ \frac{1}{2!} f’’(x) \delta^2 $, que inclui a segunda derivada, e assim por diante.

Passo 5

Vamos entender o porquê dos fatores $ \frac{1}{n!} $ nos termos. Esses fatores vêm da expansão de funções exponenciais e garantem que a série converja para a função original quando somamos infinitos termos. Sem esses fatores, a aproximação não seria precisa.

Passo 6

Então, juntando tudo, a série de Taylor para $ f(x + \delta) $ fica assim:
f(x + de
Essa soma infinita de termos nos dá uma aproximação cada vez mais precisa de $ f(x + \delta) $ à medida que adicionamos mais termos.

Resposta

O Teorema de Taylor nos permite expressar $ f(x + \delta) $ como uma série infinita de termos envolvendo as derivadas de $ f $ em $ x $:
f(x + de

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