Para uma bola de aço (diâmetro 2 mm e densidade
) deixada cair em glicerina (densidade
e viscosidade
a CNTP), a força dominante é o arrasto linear.
c) Determine o tempo característico e a velocidade limite. Dica: observe a presença do empuxo!
c) Determine o tempo característico e a velocidade limite. Dica: observe a presença do empuxo!
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma bola de aço de 2 mm de diâmetro sendo deixada cair em glicerina. Queremos descobrir dois pontos importantes: o tempo característico que a bola leva para atingir a velocidade máxima e qual é essa velocidade limite. Para isso, vamos usar conceitos de forças de arrasto, empuxo (aquela força para cima que a água ou, nesse caso, a glicerina exerce sobre a bola), e dinâmica de fluidos. Vamos precisar das fórmulas para calcular o empuxo e a força de arrasto linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as forças agindo na bola quando ela está se movendo na glicerina:
- Força Peso (
): É a força para baixo devido à gravidade. - Força de Empuxo (
): É a força para cima devido à glicerina. - Força de Arrasto (
): É a força que resiste ao movimento da bola na glicerina.
No equilíbrio (quando a bola atinge a velocidade terminal), a força peso menos a força de empuxo é igual à força de arrasto.
Passo 3
Vamos calcular a Força Peso (
) primeiro. A fórmula é:
Onde:
-
é a massa da bola. -
é a aceleração da gravidade ( ).
Primeiro, precisamos calcular o volume da bola para encontrar a massa.
Passo 4
Calculando o Volume (
) da bola:
A bola é esférica, então:
Onde
é o raio da bola. O diâmetro é 2 mm, então o raio
é 1 mm ou
metros.
Passo 5
Agora, a massa (
) da bola de aço:
A densidade (
) é massa sobre volume:
Densidade da bola de aço:
. Vamos converter para kg/m³ para manter as unidades consistentes.
Então,
Agora, calculamos
:
Passo 6
Vamos calcular a Força de Empuxo (
) usando o Princípio de Arquimedes:
Onde
é a densidade da glicerina, que é
.
Passo 7
Agora, a Força de Arrasto (
) que, no caso do arrasto linear, é dada por:
Onde
é o coeficiente de arrasto e
é a velocidade da bola. Porém, para objetos pequenos e baixas velocidades, podemos usar a Lei de Stokes:
Onde:
-
é a viscosidade da glicerina ( ). -
é o raio da bola.
Substituindo os valores:
Passo 8
No equilíbrio de forças, a força resultante é zero. Então:
Substituindo os valores que já calculamos:
Calculando a diferença:
Agora, isolamos
:
Então, a velocidade limite é aproximadamente
.
Passo 9
Para encontrar o tempo característico (
), podemos considerar que é o tempo que a bola leva para atingir aproximadamente 63% da velocidade terminal. A equação do movimento é:
No início,
, então:
Onde
é o coeficiente de arrasto (
).
Substituindo:
Ou seja, o tempo característico é aproximadamente
segundos.
Resposta
O tempo característico é aproximadamente
segundos e a velocidade limite é cerca de
metros por segundo.