Para uma bola de aço (diâmetro 2 mm e densidade 7,8 g / cm^3 ) deixada cair em glicerina (densidade 1,3 g / cm^3 e viscosidade 12 Ns / m^2 a CNTP), a força dominante é o arrasto linear.
c) Determine o tempo característico e a velocidade limite. Dica: observe a presença do empuxo!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma bola de aço de 2 mm de diâmetro sendo deixada cair em glicerina. Queremos descobrir dois pontos importantes: o tempo característico que a bola leva para atingir a velocidade máxima e qual é essa velocidade limite. Para isso, vamos usar conceitos de forças de arrasto, empuxo (aquela força para cima que a água ou, nesse caso, a glicerina exerce sobre a bola), e dinâmica de fluidos. Vamos precisar das fórmulas para calcular o empuxo e a força de arrasto linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças agindo na bola quando ela está se movendo na glicerina:
  1. Força Peso ( Fg): É a força para baixo devido à gravidade.
  2. Força de Empuxo ( Fe): É a força para cima devido à glicerina.
  3. Força de Arrasto ( Fd): É a força que resiste ao movimento da bola na glicerina.
No equilíbrio (quando a bola atinge a velocidade terminal), a força peso menos a força de empuxo é igual à força de arrasto.

Passo 3

Vamos calcular a Força Peso ( Fg) primeiro. A fórmula é:
Fg = m cdot g
Onde:
  • m é a massa da bola.
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,81 , m/s^2).
Primeiro, precisamos calcular o volume da bola para encontrar a massa.

Passo 4

Calculando o Volume ( V) da bola:
A bola é esférica, então:
V = 43 pi r^3
Onde r é o raio da bola. O diâmetro é 2 mm, então o raio r é 1 mm ou 0,001 metros.
V = 43 pi (0,001)^3 = 43 pi times 10^-9 approx 4,19 times 10^-9 , m^3

Passo 5

Agora, a massa ( m) da bola de aço:
A densidade ( rho) é massa sobre volume:
m = rho cdot V
Densidade da bola de aço: 7,8 , g/cm^3. Vamos converter para kg/m³ para manter as unidades consistentes.
7,8 , g/cm^3 = 7800 , kg/m^3
Então,
m = 7800 , kg/m^3 times 4,19 times 10^-9 , m^3 approx 3,27 times 10^-5 , kg
Agora, calculamos Fg:
Fg = 3,27 times 10^-5 , kg times 9,81 , m/s^2 approx 3,21 times 10^-4 , N

Passo 6

Vamos calcular a Força de Empuxo ( Fe) usando o Princípio de Arquimedes:
Fe = rhofluido cdot V cdot g
Onde rhofluido é a densidade da glicerina, que é 1,3 , g/cm^3 = 1300 , kg/m^3.
Fe = 1300 , kg/m^3 times 4,19 times 10^-9 , m^3 times 9,81 , m/s^2 approx 5,33 times 10^-5 , N

Passo 7

Agora, a Força de Arrasto ( Fd) que, no caso do arrasto linear, é dada por:
Fd = k cdot v
Onde k é o coeficiente de arrasto e v é a velocidade da bola. Porém, para objetos pequenos e baixas velocidades, podemos usar a Lei de Stokes:
Fd = 6 pi eta r v
Onde:
  • eta é a viscosidade da glicerina ( 12 , Ns/m^2).
  • r é o raio da bola.
Substituindo os valores:
Fd = 6 pi times 12 , Ns/m^2 times 0,001 , m times v = 0,072 pi cdot v approx 0,226 cdot v

Passo 8

No equilíbrio de forças, a força resultante é zero. Então:
Fg - Fe = Fd
Substituindo os valores que já calculamos:
3,21 times 10^-4 , N - 5,33 times 10^-5 , N = 0,226 cdot v
Calculando a diferença:
2,68 times 10^-4 , N = 0,226 cdot v
Agora, isolamos v:
v = 2,68 times 10^-40,226 approx 1,19 times 10^-3 , m/s
Então, a velocidade limite é aproximadamente 1,19 times 10^-3 , m/s.

Passo 9

Para encontrar o tempo característico ( tau), podemos considerar que é o tempo que a bola leva para atingir aproximadamente 63% da velocidade terminal. A equação do movimento é:
dvdt = Fresu
No início, v=0, então:
tau = mk
Onde k é o coeficiente de arrasto ( 0,226 , Ncdots/m).
Substituindo:
tau = 3,27 times 10^-5 , kg0,226 , Ncdots/m approx 1,45 times 10^-4 , s
Ou seja, o tempo característico é aproximadamente 1,45 times 10^-4 segundos.

Resposta

O tempo característico é aproximadamente 1,45 times 10^-4 segundos e a velocidade limite é cerca de 1,19 times 10^-3 metros por segundo.

Exercícios relacionados