Um jogador chuta uma bola com velocidade v0 em um ângulo theta acima do solo horizontal. Assuma que theta é fixo e que a resistência do ar pode ser desprezada.
a) Qual é a menor velocidade v0(min) para a qual a bola irá sobrepor uma trave de altura h, afastada uma distância d ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um jogador que chuta uma bola com certa velocidade $ v_0 $ em um ângulo $ \theta $ acima do chão. Queremos encontrar a menor velocidade $ v_{0(min)} $ necessária para que a bola passe por cima de uma trave com altura $ h $, que está a uma distância $ d $ do ponto de chute. Vamos utilizar conceitos de movimento de projéteis e equações da cinemática para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando a bola é chutada, ela segue uma trajetória parabólica devido à ação da gravidade. A velocidade inicial $ v_0 $ pode ser decomposta em duas componentes: horizontal e vertical.
A componente horizontal é:
v0
E a componente vertical é:
v0x = v0 cos(theta)

Passo 3

Sabemos que a resistência do ar é desprezada, então a única aceleração que age na bola é a da gravidade, que tem valor $ g = 9,8 , m/s^2 $ para baixo.
Para a bola passar pela trave, precisamos que, no instante em que a bola está a uma distância $ d $ horizontal do ponto de chute, a altura da bola seja pelo menos $ h $.

Passo 4

Vamos calcular o tempo que a bola leva para chegar a uma distância $ d $ horizontalmente. A equação do movimento horizontal é:
d
d = v0x cdot t

Passo 5

Agora, vamos determinar a altura da bola nesse tempo $ t $. A equação do movimento vertical é:
t
Substituindo $ v_{0y} = v_0 \sin(\theta) $ e $ t = \frac{d}{v_0 \cos(\theta)} $:
y = v0y cdot t - 12 g t^2
Simplificando:
v0y = v0 sin(theta)

Passo 6

Queremos que a altura $ y $ seja pelo menos $ h $. Então:
y
Para encontrar a velocidade mínima $ v_{0(min)} $, igualamos:
h

Passo 7

Vamos resolver a equação para $ v_0 $:
v0
Multiplicando ambos os lados por $ 2 v_0^2 \cos^2(\theta) $:
d tan(theta) - h = g d^22 v0^2 cos^2(theta)
Isolando $ v_0^2 $:
2 v0^2 cos^2(theta)

Passo 8

Finalmente, tiramos a raiz quadrada para obter $ v_0 $:
v0

Resposta

A menor velocidade necessária para que a bola passe sobre a trave é:
v0(min) = raiz g d^22 cos^2(theta) (d tan(theta) - h)

Exercícios relacionados