Um jogador chuta uma bola com velocidade
em um ângulo
acima do solo horizontal. Assuma que
é fixo e que a resistência do ar pode ser desprezada.
a) Qual é a menor velocidade
para a qual a bola irá sobrepor uma trave de altura
, afastada uma distância
?
a) Qual é a menor velocidade
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um jogador que chuta uma bola com certa velocidade $ v_0 $ em um ângulo $ \theta $ acima do chão. Queremos encontrar a menor velocidade $ v_{0(min)} $ necessária para que a bola passe por cima de uma trave com altura $ h $, que está a uma distância $ d $ do ponto de chute. Vamos utilizar conceitos de movimento de projéteis e equações da cinemática para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando a bola é chutada, ela segue uma trajetória parabólica devido à ação da gravidade. A velocidade inicial $ v_0 $ pode ser decomposta em duas componentes: horizontal e vertical.
A componente horizontal é:
E a componente vertical é:
Passo 3
Sabemos que a resistência do ar é desprezada, então a única aceleração que age na bola é a da gravidade, que tem valor $ g = 9,8 , m/s^2 $ para baixo.
Para a bola passar pela trave, precisamos que, no instante em que a bola está a uma distância $ d $ horizontal do ponto de chute, a altura da bola seja pelo menos $ h $.
Passo 4
Vamos calcular o tempo que a bola leva para chegar a uma distância $ d $ horizontalmente. A equação do movimento horizontal é:
Passo 5
Agora, vamos determinar a altura da bola nesse tempo $ t $. A equação do movimento vertical é:
Substituindo $ v_{0y} = v_0 \sin(\theta) $ e $ t = \frac{d}{v_0 \cos(\theta)} $:
Simplificando:
Passo 6
Queremos que a altura $ y $ seja pelo menos $ h $. Então:
Para encontrar a velocidade mínima $ v_{0(min)} $, igualamos:
Passo 7
Vamos resolver a equação para $ v_0 $:
Multiplicando ambos os lados por $ 2 v_0^2 \cos^2(\theta) $:
Isolando $ v_0^2 $:
Passo 8
Finalmente, tiramos a raiz quadrada para obter $ v_0 $:
Resposta
A menor velocidade necessária para que a bola passe sobre a trave é: