Mostre que, se a força resultante sobre uma partícula que se move ao longo do eixo
depender apenas da posição,
, então a velocidade
da partícula em função de
será dada por.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que, se a força resultante $ F $ sobre uma partícula que se move ao longo do eixo $ x $ depende apenas da posição $ x $, então a velocidade $ v $ da partícula em função de $ x $ é dada por:
Vamos usar conceitos de dinâmica (Estudo das forças e movimento) e cálculo para chegar nessa relação. Precisaremos aplicar a segunda lei de Newton e algumas técnicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz que a força resultante $ F $ é igual à massa $ m $ vezes a aceleração $ a $:
Como a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, temos:
Portanto, podemos escrever:
Passo 3
Agora, precisamos relacionar a velocidade com a posição. Sabemos que a velocidade $ v $ é a derivada da posição $ x $ em relação ao tempo:
Podemos usar a regra da cadeia para reescrever a aceleração:
Substituindo isso na equação da força:
Passo 4
Vamos separar as variáveis para facilitar a integração. Vamos reorganizar a equação para isolar $ dv $ de um lado e $ dx $ do outro:
Agora, vamos integrar ambos os lados. Integramos de uma posição inicial $ x_0 $ com velocidade inicial $ v_0 $ até uma posição $ x $ com velocidade $ v $:
Passo 5
Resolvendo as integrações:
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Igualando os dois lados:
Multiplicando ambos os lados por $ \frac{2}{m} $:
Rearranjando para isolar $ v^2 $:
Resposta
A velocidade $ v $ da partícula em função de $ x $ está dada por: