Mostre que, se a força resultante sobre uma partícula que se move ao longo do eixo x depender apenas da posição, F=F(x), então a velocidade v da partícula em função de x será dada por.
v^2=v0^2+2m integralx0^x F(x^prime) d x^prime

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que, se a força resultante $ F $ sobre uma partícula que se move ao longo do eixo $ x $ depende apenas da posição $ x $, então a velocidade $ v $ da partícula em função de $ x $ é dada por:
F
Vamos usar conceitos de dinâmica (Estudo das forças e movimento) e cálculo para chegar nessa relação. Precisaremos aplicar a segunda lei de Newton e algumas técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz que a força resultante $ F $ é igual à massa $ m $ vezes a aceleração $ a $:
F
Como a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, temos:
m
Portanto, podemos escrever:
a

Passo 3

Agora, precisamos relacionar a velocidade com a posição. Sabemos que a velocidade $ v $ é a derivada da posição $ x $ em relação ao tempo:
v
Podemos usar a regra da cadeia para reescrever a aceleração:
x
Substituindo isso na equação da força:
v = dxdt

Passo 4

Vamos separar as variáveis para facilitar a integração. Vamos reorganizar a equação para isolar $ dv $ de um lado e $ dx $ do outro:
dv
Agora, vamos integrar ambos os lados. Integramos de uma posição inicial $ x_0 $ com velocidade inicial $ v_0 $ até uma posição $ x $ com velocidade $ v $:
dx

Passo 5

Resolvendo as integrações:
Do lado esquerdo:
integralx0^x F(x') , dx'
Do lado direito:
m [ v'^22 ]v0^v = m2 (v^2 - v0^2)
Igualando os dois lados:
integralx0^x F(x') , dx' = m2 (v^2 - v0^2)
Multiplicando ambos os lados por $ \frac{2}{m} $:
2m
Rearranjando para isolar $ v^2 $:
v^2 - v0^2 = 2m integralx0^x F(x') , dx'

Resposta

A velocidade $ v $ da partícula em função de $ x $ está dada por:
v

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