O teorema de Taylor afirma que, para qualquer função diferenciável
, o valor de
em um ponto
pode ser expresso como uma série infinita envolvendo
e suas derivadas no ponto
, onde
é um pequeno valor:
a) Use a série de Taylor para calcular
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício sobre o Teorema de Taylor, que é uma ferramenta bem legal para aproximar funções complicadas usando polinômios. A questão pede pra gente usar a série de Taylor para calcular
. Vamos precisar lembrar como expandir uma função usando a série de Taylor e aplicar isso para a função logaritmo natural.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual função vamos expandir. Aqui, queremos encontrar a expansão de
, então podemos pensar na função
. Para usar a série de Taylor, escolhemos um ponto em que a função e suas derivadas sejam fáceis de calcular. O ponto natural para essa função é
, porque
e as derivadas são simples.
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula da série de Taylor:
No nosso caso,
e queremos expandir em torno de
. Então, substituímos:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
em
:
- Primeira derivada:
, então . - Segunda derivada:
, então . - Terceira derivada:
, então . - E assim por diante.
Passo 5
Substituindo essas derivadas na série de Taylor:
Simplificando os coeficientes:
Passo 6
Portanto, a série de Taylor para
é uma série alternada onde os sinais dos termos se alternam e os denominadores são crescentes inteiros. A expressão geral fica:
Resposta
Usando a série de Taylor, temos que: