O teorema de Taylor afirma que, para qualquer função diferenciável f(x), o valor de f em um ponto (x+de pode ser expresso como uma série infinita envolvendo f e suas derivadas no ponto x, onde de é um pequeno valor:
f(x+de
a) Use a série de Taylor para calcular ln (1+de.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre o Teorema de Taylor, que é uma ferramenta bem legal para aproximar funções complicadas usando polinômios. A questão pede pra gente usar a série de Taylor para calcular ln(1+de. Vamos precisar lembrar como expandir uma função usando a série de Taylor e aplicar isso para a função logaritmo natural.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual função vamos expandir. Aqui, queremos encontrar a expansão de ln(1+de, então podemos pensar na função f(x) = ln(x). Para usar a série de Taylor, escolhemos um ponto em que a função e suas derivadas sejam fáceis de calcular. O ponto natural para essa função é x = 1, porque ln(1) = 0 e as derivadas são simples.

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da série de Taylor:
f(x+de
No nosso caso, f(x) = ln(x) e queremos expandir em torno de x = 1. Então, substituímos:
ln(1+de

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de f(x) = ln(x) em x = 1:
  • Primeira derivada: f'(x) = 1x, então f'(1) = 1.
  • Segunda derivada: f''(x) = -1x^2, então f''(1) = -1.
  • Terceira derivada: f'''(x) = 2x^3, então f'''(1) = 2.
  • E assim por diante.

Passo 5

Substituindo essas derivadas na série de Taylor:
ln(1+de
Simplificando os coeficientes:
ln(1+de

Passo 6

Portanto, a série de Taylor para ln(1+de é uma série alternada onde os sinais dos termos se alternam e os denominadores são crescentes inteiros. A expressão geral fica:
ln(1+de

Resposta

Usando a série de Taylor, temos que:
ln(1+de

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