Uma bola é arremessada para cima, com uma velocidade inicial de 19,6 metros por segundo a partir de uma altura de 24,5 metros. Determine a função posição da bola. Quanto tempo leva a bola para chegar ao chão? (Considere a aceleração da gravidade igual a -9,8 m/s^2 ).
1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma situação de cinemática, que é o ramo da física que estuda o movimento. Precisamos determinar a função posição da bola que foi arremessada para cima e descobrir quanto tempo ela leva para atingir o chão. Para isso, vamos precisar usar as equações do movimento uniformemente variado, considerando a aceleração da gravidade.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer a função posição. A fórmula geral para a posição em função do tempo quando há aceleração é:
Onde:
  • é a posição no tempo ,
  • é a posição inicial,
  • é a velocidade inicial,
  • é a aceleração,
  • é o tempo.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos no problema:
  • Posição inicial ( ): 24,5 metros,
  • Velocidade inicial ( ): 19,6 metros por segundo,
  • Aceleração ( ): -9,8 metros por segundo ao quadrado (a gravidade puxa para baixo, por isso o sinal negativo).
Substituindo esses valores na fórmula:

Passo 4

Vamos simplificar a equação:
Então, a função posição é:

Passo 5

Agora, queremos saber quanto tempo a bola leva para chegar ao chão. Isso acontece quando a posição é igual a zero:
Vamos reorganizar a equação:

Passo 6

Para resolver essa equação quadrática, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde:
  • ,
  • ,
  • .

Passo 7

Calculando o discriminante ( ):
Como , temos duas soluções reais.

Passo 8

Calculando as duas possíveis soluções para :
Vamos considerar apenas o valor positivo de tempo:

Resposta

A função posição da bola é:
E a bola leva 5 segundos para chegar ao chão.

Exercícios relacionados

Encontre a antiderivação das funções abaixo utilizando a técnica adequada.
integral raiz1-3 x d x.
Considerando que integral f(x) d x=F(x)+C determine o valor da constante de integração para cada caso:
integral(3 x+14) d x
F(0)=7
integral(3 x+14) d x
F(2)=-14
integral 2 d x
Uma população de esquilos-cinzentos foi introduzida em certa região há 18 anos. Segundo os biólogos, a população dobra a cada seis anos e a população atual é de 600 animais.
(b) Qual é a população esperada de esquilos t anos após sua introdução na região?