Uma bola é arremessada para cima com velocidade vertical de
de uma janela localizada a 20 m acima do solo. Determine:
a) A velocidade e a elevação da bola acima do solo para qualquer instante
; ( v
e
)
b) A elevação máxima atingida pela bola e o correspondente valor de
; (ymax
c) O instante em que a bola atingirá o solo e a velocidade correspondente; (t =
e
)
d) Faça a análise gráfica Y-t, v-t e a-t.
a) A velocidade e a elevação da bola acima do solo para qualquer instante
b) A elevação máxima atingida pela bola e o correspondente valor de
c) O instante em que a bola atingirá o solo e a velocidade correspondente; (t =
d) Faça a análise gráfica Y-t, v-t e a-t.
Passo 1
Vamos resolver o exercício passo a passo. O problema envolve o movimento de uma bola arremessada verticalmente para cima, o que faz parte da matéria de Cinemática, especificamente o estudo do movimento vertical sob a influência da gravidade. Para resolver este exercício, vamos precisar das fórmulas de movimento uniformemente variado (MUV) que descrevem a posição e a velocidade de um objeto em função do tempo.
Passo 2
Parte a) Determinar a velocidade e a elevação da bola acima do solo para qualquer instante
.
Primeiro, vamos considerar as equações do movimento vertical:
-
Velocidade (
) em função do tempo: onde:-
é a velocidade inicial (10 m/s para cima), -
é a aceleração devido à gravidade (aproximadamente 9,81 m/s²).
-
-
Posição (
) em função do tempo: onde:-
é a altura inicial (20 m).
-
Aplicando os valores fornecidos:
-
m/s -
m
Passo 3
Parte b) Determinar a elevação máxima atingida pela bola e o correspondente valor de
.
A elevação máxima ocorre quando a velocidade
se torna zero, ou seja, no ponto onde a bola para de subir e começa a descer.
Usando a equação da velocidade:
Resolvendo para
:
Agora, substituímos
s na equação da posição para achar a elevação máxima:
Passo 4
Parte c) Determinar o instante em que a bola atingirá o solo e a velocidade correspondente.
Para encontrar o instante em que a bola atinge o solo, precisamos achar o tempo
quando a posição
:
Isso é uma equação quadrática da forma
. Resolvendo usando a fórmula de Bhaskara:
onde:
-
, -
, -
.
Calculando o discriminante:
Considerando apenas o valor positivo de
:
Agora, calculamos a velocidade nesse instante:
O sinal negativo indica que a velocidade está direcionada para baixo.
Passo 5
Parte d) Fazer a análise gráfica
,
e
.
Para análise gráfica:
-
Gráfico
: Representa a posição da bola em função do tempo. A curva será uma parábola invertida, alcançando o ponto mais alto em s. -
Gráfico
: Representa a velocidade da bola em função do tempo. É uma reta decrescente, começando em 10 m/s e diminuindo linearmente devido à aceleração da gravidade. -
Gráfico
: Representa a aceleração da bola em função do tempo. Como a aceleração devido à gravidade é constante, este gráfico será uma linha reta horizontal em .
Resposta
a)
m/s e
m.
b) A elevação máxima é aproximadamente 25,1 metros, ocorrendo em
segundos.
c) A bola atinge o solo em aproximadamente 3,28 segundos com uma velocidade de
m/s.
d) Os gráficos
é uma parábola invertida,
é uma reta decrescente linear, e
é uma linha horizontal constante em
.
Exercícios relacionados
A posição de uma partícula que se desloca ao longo de uma linha reta é definida pela expressão
, onde
é expresso em metros e
em segundos. Determine:
a) O instante em que a velocidade será zero;
b) A posição e a distância percorrida pela partícula neste instante; (x = -60m; d )
c) A aceleração da partícula neste instante;
d) A distância percorrida pela partícula de a
;
e) Faça a análise gráfica X-t, v-t e a-t.
a) O instante em que a velocidade será zero;
b) A posição e a distância percorrida pela partícula neste instante; (x = -60m; d
c) A aceleração da partícula neste instante;
d) A distância percorrida pela partícula de
e) Faça a análise gráfica X-t, v-t e a-t.
Determine o momento de
em relação à reta CD .
O mecanismo de freio usado para reduzir o recuo em certos tipos de arma consiste em um pistão preso ao cano e que se move em um cilindro fixo, cheio de óleo. Quando o cano recua com velocidade inicial
, o pistão se move e o óleo é forçado através de orifícios em seu interior, causando uma desaceleração do pistão e do cano a uma taxa proporcional à velocidade de ambos, a
. Determine
, e
. Faça a análise gráfica
, v-t e a-t.
Resposta: e
.
Resposta:
Uma bola é arremessada verticalmente de uma altura de 12 m de um poço de elevador com velocidade inicial de
. No mesmo instante, um elevador de plataforma aberta passa pelo nível de 5 m, subindo com velocidade de
. Determine (a) quando e onde a bola atinge o elevador e (b) a velocidade relativa da bola em relação ao elevador quando a bola o atinge.
Resposta: e y
, Vrelativa
.
Resposta: