O mecanismo de freio usado para reduzir o recuo em certos tipos de arma consiste em um pistão preso ao cano e que se move em um cilindro fixo, cheio de óleo. Quando o cano recua com velocidade inicial v0, o pistão se move e o óleo é forçado através de orifícios em seu interior, causando uma desaceleração do pistão e do cano a uma taxa proporcional à velocidade de ambos, a =-kv. Determine v(t), x(t), e v(x). Faça a análise gráfica X-t, v-t e a-t.
Resposta: V=V0 e^-kt, x=(V0 / K)(1-e^-kt) e V=V0-kx.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como um mecanismo de freio em armas funciona para reduzir o recuo. Basicamente, temos um pistão ligado ao cano que se move dentro de um cilindro cheio de óleo. Quando o cano começa a recuar com uma velocidade inicial , o pistão também se move e o óleo é forçado a passar por pequenos furos, o que causa uma desaceleração proporcional à velocidade, dada por .
Vamos precisar de conhecimentos de cinemática e equações diferenciais para resolver isso. Vamos encontrar as funções de velocidade , posição e a relação entre velocidade e posição . Também vamos analisar graficamente as funções - , - e aceleração - .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função de velocidade a = dvdt = -kv . Sabemos que a aceleração dvdt = -kv é a derivada da velocidade em relação ao tempo, então temos:
dvv = -k,dt
Isso é uma equação diferencial simples de primeiro grau. Podemos reescrevê-la como:
ln v = -kt + C
Para resolver, separamos as variáveis:
v(t) = V0 e^-kt
Integrando ambos os lados:
Exponentiando para resolver para :
Onde é a velocidade inicial.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a posição x(t) = integral v(t),dt = integral V0 e^-kt,dt . Sabemos que posição é a integral da velocidade em relação ao tempo:
x(t) = -V0k e^-kt + C
Integrando:
0 = -V0k e^0 + C implies C = V0k
Aplicando a condição inicial x(t) = V0k (1 - e^-kt) :
Então, a posição fica:

Passo 4

Agora, vamos relacionar a velocidade com a posição v = dxdt . Sabemos que:
1 - kxV0 = e^-kt
Já temos -kt = ln(1 - kxV0) e t = -1k ln(1 - kxV0) . Podemos resolver para v(x) = V0 e^-kt = V0 (1 - kxV0) = V0 - kx a partir de :
Tomando o logaritmo natural:
Logo,
Substituindo na expressão de :

Resposta

As funções solicitadas são:
v(t) = V0 e^-kt, x(t) = (V0k) (1 - e^-kt) e v(x) = V0 - kx

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