O mecanismo de freio usado para reduzir o recuo em certos tipos de arma consiste em um pistão preso ao cano e que se move em um cilindro fixo, cheio de óleo. Quando o cano recua com velocidade inicial
, o pistão se move e o óleo é forçado através de orifícios em seu interior, causando uma desaceleração do pistão e do cano a uma taxa proporcional à velocidade de ambos, a
. Determine
, e
. Faça a análise gráfica
, v-t e a-t.
Resposta:
e
.
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como um mecanismo de freio em armas funciona para reduzir o recuo. Basicamente, temos um pistão ligado ao cano que se move dentro de um cilindro cheio de óleo. Quando o cano começa a recuar com uma velocidade inicial
, o pistão também se move e o óleo é forçado a passar por pequenos furos, o que causa uma desaceleração proporcional à velocidade, dada por
.
Vamos precisar de conhecimentos de cinemática e equações diferenciais para resolver isso. Vamos encontrar as funções de velocidade
, posição
e a relação entre velocidade e posição
. Também vamos analisar graficamente as funções
-
,
-
e aceleração
-
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função de velocidade
. Sabemos que a aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo, então temos:
Isso é uma equação diferencial simples de primeiro grau. Podemos reescrevê-la como:
Para resolver, separamos as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Exponentiando para resolver para
:
Onde
é a velocidade inicial.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a posição
. Sabemos que posição é a integral da velocidade em relação ao tempo:
Integrando:
Aplicando a condição inicial
:
Então, a posição fica:
Passo 4
Agora, vamos relacionar a velocidade com a posição
. Sabemos que:
Já temos
e
. Podemos resolver para
a partir de
:
Tomando o logaritmo natural:
Logo,
Substituindo na expressão de
:
Resposta
As funções solicitadas são: