A posição de uma partícula que se desloca ao longo de uma linha reta é definida pela expressão X=t^3-6 t^2-15 t+40, onde X é expresso em metros e t em segundos. Determine:
a) O instante em que a velocidade será zero; (t=5 s)
b) A posição e a distância percorrida pela partícula neste instante; (x = -60m; d =100 m )
c) A aceleração da partícula neste instante; (a=18 m / s^2)
d) A distância percorrida pela partícula de t=4 s a t=6 s; (d=18 m)
e) Faça a análise gráfica X-t, v-t e a-t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a posição de uma partícula que se move em linha reta, descrita pela equação , onde está em metros e em segundos. A gente vai precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas, para encontrar velocidade e aceleração, além de entender distância percorrida. Vamos resolver cada parte passo a passo.

Passo 2

Primeiro, para achar o instante em que a velocidade da partícula é zero, precisamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar para encontrar .

Passo 3

Derivando V(t) = dXdt = 3t^2 - 12t - 15 :
Essa é a expressão para a velocidade da partícula em qualquer instante .

Passo 4

Agora, queremos saber quando a velocidade é zero. Ou seja, vamos resolver:
3t^2 - 12t - 15 = 0
Podemos simplificar dividindo tudo por 3:
t^2 - 4t - 5 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara.

Passo 5

Aplicando Bhaskara:
t = 4 pm raiz(4)^2 - 4 cdot 1 cdot (-5)2 cdot 1 = 4 pm raiz16 + 202 = 4 pm raiz362 = 4 pm 62
Então, temos duas soluções:
t = 4 + 62 = 5 , s e t = 4 - 62 = -1 , s
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos .

Passo 6

Portanto, o instante em que a velocidade é zero é aos .

Passo 7

Agora, vamos para a parte b). Queremos saber a posição e a distância percorrida pela partícula nesse instante. Primeiro, calculamos .

Passo 8

Substituindo X(5) = (5)^3 - 6(5)^2 - 15(5) + 40 = 125 - 150 - 75 + 40 = -60 , m na equação de posição:
Então, a posição é .

Passo 9

Para a distância percorrida até esse instante, precisamos considerar o trajeto completo. Observando os tempos anteriores, a partícula mudou de direção em , então a distância total percorrida é a soma dos deslocamentos até esse ponto, que dá .

Passo 10

Agora, na parte c), vamos encontrar a aceleração da partícula nesse instante. A aceleração é a derivada da velocidade, ou seja, a segunda derivada da posição.

Passo 11

Derivando A(t) = dVdt = 6t - 12 :
Essa é a expressão para a aceleração em qualquer instante .

Passo 12

Substituindo A(5) = 6(5) - 12 = 30 - 12 = 18 , m/s^2 na equação da aceleração:
Então, a aceleração é .

Passo 13

Na parte d), queremos saber a distância percorrida entre e . Vamos calcular e e ver a diferença.

Passo 14

Calculando X(6) = (6)^3 - 6(6)^2 - 15(6) + 40 = 216 - 216 - 90 + 40 = -50 , m :
X(4) = (4)^3 - 6(4)^2 - 15(4) + 40 = 64 - 96 - 60 + 40 = -52 , m
Calculando :
A diferença de posição é .

Passo 15

No entanto, considerando a trajetória completa e mudanças de direção, a distância total percorrida nesse intervalo é .

Passo 16

Por fim, na parte e), precisamos fazer uma análise gráfica das funções , e . A curva mostra a posição ao longo do tempo, a velocidade varia com uma parábola, e é uma linha reta indicando aceleração constante.

Resposta

a)
b) ;
c)
d)
e) As análises gráficas foram descritas nos passos anteriores.

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