A posição de uma partícula que se desloca ao longo de uma linha reta é definida pela expressão
, onde
é expresso em metros e
em segundos. Determine:
a) O instante em que a velocidade será zero;
b) A posição e a distância percorrida pela partícula neste instante; (x = -60m; d
)
c) A aceleração da partícula neste instante;
d) A distância percorrida pela partícula de
a
;
e) Faça a análise gráfica X-t, v-t e a-t.
a) O instante em que a velocidade será zero;
b) A posição e a distância percorrida pela partícula neste instante; (x = -60m; d
c) A aceleração da partícula neste instante;
d) A distância percorrida pela partícula de
e) Faça a análise gráfica X-t, v-t e a-t.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a posição de uma partícula que se move em linha reta, descrita pela equação
, onde
está em metros e
em segundos. A gente vai precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas, para encontrar velocidade e aceleração, além de entender distância percorrida. Vamos resolver cada parte passo a passo.
Passo 2
Primeiro, para achar o instante em que a velocidade da partícula é zero, precisamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar
para encontrar
.
Passo 3
Derivando
:
Essa é a expressão para a velocidade da partícula em qualquer instante
.
Passo 4
Agora, queremos saber quando a velocidade é zero. Ou seja, vamos resolver:
Podemos simplificar dividindo tudo por 3:
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara.
Passo 5
Aplicando Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos
.
Passo 6
Portanto, o instante em que a velocidade é zero é aos
.
Passo 7
Agora, vamos para a parte b). Queremos saber a posição e a distância percorrida pela partícula nesse instante. Primeiro, calculamos
.
Passo 8
Substituindo
na equação de posição:
Então, a posição é
.
Passo 9
Para a distância percorrida até esse instante, precisamos considerar o trajeto completo. Observando os tempos anteriores, a partícula mudou de direção em
, então a distância total percorrida é a soma dos deslocamentos até esse ponto, que dá
.
Passo 10
Agora, na parte c), vamos encontrar a aceleração da partícula nesse instante. A aceleração é a derivada da velocidade, ou seja, a segunda derivada da posição.
Passo 11
Derivando
:
Essa é a expressão para a aceleração em qualquer instante
.
Passo 12
Substituindo
na equação da aceleração:
Então, a aceleração é
.
Passo 13
Na parte d), queremos saber a distância percorrida entre
e
. Vamos calcular
e
e ver a diferença.
Passo 14
Calculando
:
Calculando
:
A diferença de posição é
.
Passo 15
No entanto, considerando a trajetória completa e mudanças de direção, a distância total percorrida nesse intervalo é
.
Passo 16
Por fim, na parte e), precisamos fazer uma análise gráfica das funções
,
e
. A curva
mostra a posição ao longo do tempo,
a velocidade varia com uma parábola, e
é uma linha reta indicando aceleração constante.
Resposta
a)
b) ;
c)
d)
e) As análises gráficas foram descritas nos passos anteriores.
b)
c)
d)
e) As análises gráficas foram descritas nos passos anteriores.
Exercícios relacionados
Determine o momento de
em relação à reta CD .
A rotação do braço com uma ranhura radial é determinada por
, onde
é expresso em radianos e
é expresso em segundos. Simultaneamente, o parafuso no braço movimenta o cursor
e controla sua distância a partir de
de acordo com
, onde
é em metros e
é em segundos. Calcule os módulos da velocidade e da aceleração do cursor para o instante em que
.
Resposta: e
.
Resposta:
Uma bola é arremessada para cima com velocidade vertical de
de uma janela localizada a 20 m acima do solo. Determine:
a) A velocidade e a elevação da bola acima do solo para qualquer instante ; ( v
e
)
b) A elevação máxima atingida pela bola e o correspondente valor de ; (ymax
c) O instante em que a bola atingirá o solo e a velocidade correspondente; (t = e
)
d) Faça a análise gráfica Y-t, v-t e a-t.
a) A velocidade e a elevação da bola acima do solo para qualquer instante
b) A elevação máxima atingida pela bola e o correspondente valor de
c) O instante em que a bola atingirá o solo e a velocidade correspondente; (t =
d) Faça a análise gráfica Y-t, v-t e a-t.
O mecanismo de freio usado para reduzir o recuo em certos tipos de arma consiste em um pistão preso ao cano e que se move em um cilindro fixo, cheio de óleo. Quando o cano recua com velocidade inicial
, o pistão se move e o óleo é forçado através de orifícios em seu interior, causando uma desaceleração do pistão e do cano a uma taxa proporcional à velocidade de ambos, a
. Determine
, e
. Faça a análise gráfica
, v-t e a-t.
Resposta: e
.
Resposta: