A posição de uma partícula que se desloca ao longo de uma linha reta é definida pela expressão , onde é expresso em metros e em segundos. Determine:
a) O instante em que a velocidade será zero;
b) A posição e a distância percorrida pela partícula neste instante; (x = -60m; d )
c) A aceleração da partícula neste instante;
d) A distância percorrida pela partícula de a ;
e) Faça a análise gráfica X-t, v-t e a-t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a posição de uma partícula que se move em linha reta, descrita pela equação , onde está em metros e em segundos. A gente vai precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas, para encontrar velocidade e aceleração, além de entender distância percorrida. Vamos resolver cada parte passo a passo.

Passo 2

Primeiro, para achar o instante em que a velocidade da partícula é zero, precisamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar para encontrar .

Passo 3

Derivando :
Essa é a expressão para a velocidade da partícula em qualquer instante .

Passo 4

Agora, queremos saber quando a velocidade é zero. Ou seja, vamos resolver:
Podemos simplificar dividindo tudo por 3:
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara.

Passo 5

Aplicando Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos .

Passo 6

Portanto, o instante em que a velocidade é zero é aos .

Passo 7

Agora, vamos para a parte b). Queremos saber a posição e a distância percorrida pela partícula nesse instante. Primeiro, calculamos .

Passo 8

Substituindo na equação de posição:
Então, a posição é .

Passo 9

Para a distância percorrida até esse instante, precisamos considerar o trajeto completo. Observando os tempos anteriores, a partícula mudou de direção em , então a distância total percorrida é a soma dos deslocamentos até esse ponto, que dá .

Passo 10

Agora, na parte c), vamos encontrar a aceleração da partícula nesse instante. A aceleração é a derivada da velocidade, ou seja, a segunda derivada da posição.

Passo 11

Derivando :
Essa é a expressão para a aceleração em qualquer instante .

Passo 12

Substituindo na equação da aceleração:
Então, a aceleração é .

Passo 13

Na parte d), queremos saber a distância percorrida entre e . Vamos calcular e e ver a diferença.

Passo 14

Calculando :
Calculando :
A diferença de posição é .

Passo 15

No entanto, considerando a trajetória completa e mudanças de direção, a distância total percorrida nesse intervalo é .

Passo 16

Por fim, na parte e), precisamos fazer uma análise gráfica das funções , e . A curva mostra a posição ao longo do tempo, a velocidade varia com uma parábola, e é uma linha reta indicando aceleração constante.

Resposta

a)
b) ;
c)
d)
e) As análises gráficas foram descritas nos passos anteriores.

Exercícios relacionados

Determine o momento de em relação à reta CD .
A rotação do braço com uma ranhura radial é determinada por , onde é expresso em radianos e é expresso em segundos. Simultaneamente, o parafuso no braço movimenta o cursor e controla sua distância a partir de de acordo com , onde é em metros e é em segundos. Calcule os módulos da velocidade e da aceleração do cursor para o instante em que .
Resposta: e .
Uma bola é arremessada para cima com velocidade vertical de de uma janela localizada a 20 m acima do solo. Determine:
a) A velocidade e a elevação da bola acima do solo para qualquer instante ; ( v e )
b) A elevação máxima atingida pela bola e o correspondente valor de ; (ymax
c) O instante em que a bola atingirá o solo e a velocidade correspondente; (t = e )
d) Faça a análise gráfica Y-t, v-t e a-t.
O mecanismo de freio usado para reduzir o recuo em certos tipos de arma consiste em um pistão preso ao cano e que se move em um cilindro fixo, cheio de óleo. Quando o cano recua com velocidade inicial , o pistão se move e o óleo é forçado através de orifícios em seu interior, causando uma desaceleração do pistão e do cano a uma taxa proporcional à velocidade de ambos, a . Determine , e . Faça a análise gráfica , v-t e a-t.
Resposta: e .