Uma bola é arremessada verticalmente de uma altura de 12 m de um poço de elevador com velocidade inicial de
. No mesmo instante, um elevador de plataforma aberta passa pelo nível de 5 m, subindo com velocidade de
. Determine (a) quando e onde a bola atinge o elevador e (b) a velocidade relativa da bola em relação ao elevador quando a bola o atinge.
Resposta:
e y
, Vrelativa
.
Resposta:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem aqui um problema de movimento vertical. Uma bola é lançada para cima de uma altura de 12 metros com uma velocidade inicial de
. Ao mesmo tempo, um elevador começa a subir passando pelo nível de 5 metros com uma velocidade constante de
. A gente precisa descobrir duas coisas:
a) Quando (em quanto tempo) e onde (a que altura) a bola vai atingir o elevador.
b) A velocidade relativa da bola em relação ao elevador quando isso acontecer.
Para resolver, vamos usar as equações do movimento uniformemente variado (já que a bola está sujeita à aceleração da gravidade) e do movimento uniforme (para o elevador que tem velocidade constante).
Passo 2
Primeiro, vamos definir as equações de posição para a bola e para o elevador em função do tempo
.
Para a bola, que está sendo lançada para cima, a posição em função do tempo é dada por:
Onde:
-
(altura inicial), -
(velocidade inicial), -
(aceleração da gravidade).
Para o elevador, que está subindo com velocidade constante, a posição é:
Onde:
-
, -
.
Passo 3
Agora, vamos igualar as duas posições para encontrar o tempo
quando a bola e o elevador estão na mesma altura:
Substituindo as equações:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação:
Reorganizando todos os termos para um lado:
Multiplicando toda a equação por -1 para facilitar:
Passo 5
Agora, temos uma equação quadrática na forma
. Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar
:
Onde:
-
, -
, -
.
Calculando o discriminante (
):
Passo 6
Encontrando as raízes:
Desconsideramos a solução negativa, pois o tempo não pode ser negativo:
Passo 7
Agora que temos o tempo, vamos encontrar a altura onde isso acontece. Vamos substituir
na equação do elevador:
Arredondando, temos:
Passo 8
Para encontrar a velocidade relativa da bola em relação ao elevador, primeiro calculamos a velocidade da bola no instante
:
(O sinal negativo indica que a bola está descendo.)
A velocidade do elevador é constante:
A velocidade relativa é a diferença entre as duas velocidades:
O valor absoluto da velocidade relativa é:
Resposta
(a) A bola atinge o elevador após aproximadamente
e na altura de
.
(b) A velocidade relativa da bola em relação ao elevador quando a bola o atinge é de aproximadamente
.