Uma bola é arremessada verticalmente de uma altura de 12 m de um poço de elevador com velocidade inicial de . No mesmo instante, um elevador de plataforma aberta passa pelo nível de 5 m, subindo com velocidade de . Determine (a) quando e onde a bola atinge o elevador e (b) a velocidade relativa da bola em relação ao elevador quando a bola o atinge.
Resposta: e y , Vrelativa .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem aqui um problema de movimento vertical. Uma bola é lançada para cima de uma altura de 12 metros com uma velocidade inicial de . Ao mesmo tempo, um elevador começa a subir passando pelo nível de 5 metros com uma velocidade constante de . A gente precisa descobrir duas coisas:
a) Quando (em quanto tempo) e onde (a que altura) a bola vai atingir o elevador.
b) A velocidade relativa da bola em relação ao elevador quando isso acontecer.
Para resolver, vamos usar as equações do movimento uniformemente variado (já que a bola está sujeita à aceleração da gravidade) e do movimento uniforme (para o elevador que tem velocidade constante).

Passo 2

Primeiro, vamos definir as equações de posição para a bola e para o elevador em função do tempo .
Para a bola, que está sendo lançada para cima, a posição em função do tempo é dada por:
Onde:
  • (altura inicial),
  • (velocidade inicial),
  • (aceleração da gravidade).
Para o elevador, que está subindo com velocidade constante, a posição é:
Onde:
  • ,
  • .

Passo 3

Agora, vamos igualar as duas posições para encontrar o tempo quando a bola e o elevador estão na mesma altura:
Substituindo as equações:

Passo 4

Vamos simplificar essa equação:
Reorganizando todos os termos para um lado:
Multiplicando toda a equação por -1 para facilitar:

Passo 5

Agora, temos uma equação quadrática na forma . Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar :
Onde:
  • ,
  • ,
  • .
Calculando o discriminante ( ):

Passo 6

Encontrando as raízes:
Desconsideramos a solução negativa, pois o tempo não pode ser negativo:

Passo 7

Agora que temos o tempo, vamos encontrar a altura onde isso acontece. Vamos substituir na equação do elevador:
Arredondando, temos:

Passo 8

Para encontrar a velocidade relativa da bola em relação ao elevador, primeiro calculamos a velocidade da bola no instante :
(O sinal negativo indica que a bola está descendo.)
A velocidade do elevador é constante:
A velocidade relativa é a diferença entre as duas velocidades:
O valor absoluto da velocidade relativa é:

Resposta

(a) A bola atinge o elevador após aproximadamente e na altura de .
(b) A velocidade relativa da bola em relação ao elevador quando a bola o atinge é de aproximadamente .

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b) A elevação máxima atingida pela bola e o correspondente valor de ; (ymax
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