Uma bola é arremessada verticalmente de uma altura de 12 m de um poço de elevador com velocidade inicial de 18 m / s. No mesmo instante, um elevador de plataforma aberta passa pelo nível de 5 m, subindo com velocidade de 2 m / s. Determine (a) quando e onde a bola atinge o elevador e (b) a velocidade relativa da bola em relação ao elevador quando a bola o atinge.
Resposta: t=3,652 s e y =12,30 m, Vrelativa =19,826 m / s.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem aqui um problema de movimento vertical. Uma bola é lançada para cima de uma altura de 12 metros com uma velocidade inicial de . Ao mesmo tempo, um elevador começa a subir passando pelo nível de 5 metros com uma velocidade constante de . A gente precisa descobrir duas coisas:
a) Quando (em quanto tempo) e onde (a que altura) a bola vai atingir o elevador.
b) A velocidade relativa da bola em relação ao elevador quando isso acontecer.
Para resolver, vamos usar as equações do movimento uniformemente variado (já que a bola está sujeita à aceleração da gravidade) e do movimento uniforme (para o elevador que tem velocidade constante).

Passo 2

Primeiro, vamos definir as equações de posição para a bola e para o elevador em função do tempo ybola(t) = y0 + v0 t - 12 g t^2 .
Para a bola, que está sendo lançada para cima, a posição em função do tempo é dada por:
ye<=vador(t) = yinicial + ve<=vador t
Onde:
  • (altura inicial),
  • (velocidade inicial),
  • (aceleração da gravidade).
Para o elevador, que está subindo com velocidade constante, a posição é:
Onde:
  • ,
  • .

Passo 3

Agora, vamos igualar as duas posições para encontrar o tempo ybola(t) = ye<=vador(t) quando a bola e o elevador estão na mesma altura:
12 + 18t - 12 times 9,8 times t^2 = 5 + 2t
Substituindo as equações:

Passo 4

Vamos simplificar essa equação:
12 + 18t - 4,9t^2 = 5 + 2t
Reorganizando todos os termos para um lado:
-4,9t^2 + 18t - 2t + 12 - 5 = 0
-4,9t^2 + 16t + 7 = 0
Multiplicando toda a equação por -1 para facilitar:
4,9t^2 - 16t - 7 = 0

Passo 5

Agora, temos uma equação quadrática na forma t = -b pm raizb^2 - 4ac2a . Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar De:
Onde:
  • ,
  • ,
  • .
Calculando o discriminante ( ):

Passo 6

Encontrando as raízes:
t = 16 pm raiz393,29,8
t = 16 pm 19,8269,8
Desconsideramos a solução negativa, pois o tempo não pode ser negativo:
t = 16 + 19,8269,8 approx 35,8269,8 approx 3,652 , s

Passo 7

Agora que temos o tempo, vamos encontrar a altura onde isso acontece. Vamos substituir ye<=vador = 5 + 2 times 3,652 approx 5 + 7,304 = 12,304 , m na equação do elevador:
y approx 12,30 , m
Arredondando, temos:

Passo 8

Para encontrar a velocidade relativa da bola em relação ao elevador, primeiro calculamos a velocidade da bola no instante vbola(t) = v0 - g t = 18 - 9,8 times 3,652 approx 18 - 35,74 = -17,74 , m/s :
ve<=vador = 2 , m/s
(O sinal negativo indica que a bola está descendo.)
A velocidade do elevador é constante:
vrelativa = vbola - ve<=vador = -17,74 - 2 = -19,74 , m/s
A velocidade relativa é a diferença entre as duas velocidades:
|vrelativa| approx 19,74 , m/s
O valor absoluto da velocidade relativa é:

Resposta

(a) A bola atinge o elevador após aproximadamente e na altura de .
(b) A velocidade relativa da bola em relação ao elevador quando a bola o atinge é de aproximadamente .

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