O cursor montado entre molas se move em uma guia horizontal com atrito desprezível e tem uma velocidade
no sentido s quando cruza a posição central em que
e
. As duas molas em conjunto exercem uma força para retardar o movimento do cursor, o que lhe confere uma aceleração proporcional ao deslocamento, mas com sentido oposto e de valor
, onde k é constante. Determine uma expressão para
e
.
Resposta:
e
.
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala de um cursor que se move numa guia horizontal, preso por duas molas. Quando ele passa pela posição central (s = 0) com uma velocidade inicial
, as molas começam a atuar para retardar o movimento. A aceleração do cursor é proporcional ao deslocamento, mas na direção oposta, dada por
. Nosso objetivo é encontrar as expressões para a posição
e a velocidade
do cursor ao longo do tempo. Vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico simples e resolver uma equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre aceleração e deslocamento. A equação dada é
. Sabemos que aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo, ou seja,
. Então, podemos escrever:
Essa é uma equação diferencial que descreve um movimento harmônico simples, onde a aceleração é proporcional e oposta ao deslocamento.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação diferencial:
A solução geral para essa equação é uma combinação de funções seno e cosseno:
Onde
e
são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 4
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
:
- Quando
, :
- A velocidade inicial
quando . A velocidade é a primeira derivada da posição:
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral:
Para a velocidade:
Resposta
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. No mesmo instante, um elevador de plataforma aberta passa pelo nível de 5 m, subindo com velocidade de
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Resposta: e y
, Vrelativa
.
Resposta:
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, o pistão se move e o óleo é forçado através de orifícios em seu interior, causando uma desaceleração do pistão e do cano a uma taxa proporcional à velocidade de ambos, a
. Determine
, e
. Faça a análise gráfica
, v-t e a-t.
Resposta: e
.
Resposta:
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, determine a aceleração do automóvel imediatamente após os freios terem sido acionados.
.
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e
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