O cursor montado entre molas se move em uma guia horizontal com atrito desprezível e tem uma velocidade v0 no sentido s quando cruza a posição central em que s=0 e t=0. As duas molas em conjunto exercem uma força para retardar o movimento do cursor, o que lhe confere uma aceleração proporcional ao deslocamento, mas com sentido oposto e de valor a=-k^2 s, onde k é constante. Determine uma expressão para s(t) e v(t).
Resposta: S=(V0 / k) sen(kt) e V=V0 cos (kt).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala de um cursor que se move numa guia horizontal, preso por duas molas. Quando ele passa pela posição central (s = 0) com uma velocidade inicial , as molas começam a atuar para retardar o movimento. A aceleração do cursor é proporcional ao deslocamento, mas na direção oposta, dada por . Nosso objetivo é encontrar as expressões para a posição e a velocidade do cursor ao longo do tempo. Vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico simples e resolver uma equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre aceleração e deslocamento. A equação dada é d^2 sdt^2 = -k^2 s . Sabemos que aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo, ou seja, . Então, podemos escrever:
Essa é uma equação diferencial que descreve um movimento harmônico simples, onde a aceleração é proporcional e oposta ao deslocamento.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação diferencial:
d^2 sdt^2 + k^2 s = 0
A solução geral para essa equação é uma combinação de funções seno e cosseno:
s(t) = A cos(k t) + B sin(k t)
Onde e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 4

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar 0 = A cos(0) + B sin(0) Rightarrow 0 = A Rightarrow A = 0 e v(t) = dsdt = -A k sin(k t) + B k cos(k t) :
  1. Quando v(0) = -A k sin(0) + B k cos(0) Rightarrow v0 = B k Rightarrow B = v0k , :
  1. A velocidade inicial quando . A velocidade é a primeira derivada da posição:

Passo 5

Substituindo s(t) = 0 cdot cos(k t) + v0k sin(k t) = v0k sin(k t) e v(t) = -0 cdot k sin(k t) + v0k k cos(k t) = v0 cos(k t) na solução geral:
Para a velocidade:

Resposta

S(t) = ( V0k ) sin(k t) e V(t) = V0 cos(k t)

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