O cursor montado entre molas se move em uma guia horizontal com atrito desprezível e tem uma velocidade no sentido s quando cruza a posição central em que e . As duas molas em conjunto exercem uma força para retardar o movimento do cursor, o que lhe confere uma aceleração proporcional ao deslocamento, mas com sentido oposto e de valor , onde k é constante. Determine uma expressão para e .
Resposta: e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala de um cursor que se move numa guia horizontal, preso por duas molas. Quando ele passa pela posição central (s = 0) com uma velocidade inicial , as molas começam a atuar para retardar o movimento. A aceleração do cursor é proporcional ao deslocamento, mas na direção oposta, dada por . Nosso objetivo é encontrar as expressões para a posição e a velocidade do cursor ao longo do tempo. Vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico simples e resolver uma equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre aceleração e deslocamento. A equação dada é . Sabemos que aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo, ou seja, . Então, podemos escrever:
Essa é uma equação diferencial que descreve um movimento harmônico simples, onde a aceleração é proporcional e oposta ao deslocamento.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação diferencial:
A solução geral para essa equação é uma combinação de funções seno e cosseno:
Onde e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 4

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e :
  1. Quando , :
  1. A velocidade inicial quando . A velocidade é a primeira derivada da posição:

Passo 5

Substituindo e na solução geral:
Para a velocidade:

Resposta

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Resposta: e y , Vrelativa .
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Resposta: e .
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