O cursor montado entre molas se move em uma guia horizontal com atrito desprezível e tem uma velocidade
no sentido s quando cruza a posição central em que
e
. As duas molas em conjunto exercem uma força para retardar o movimento do cursor, o que lhe confere uma aceleração proporcional ao deslocamento, mas com sentido oposto e de valor
, onde k é constante. Determine uma expressão para
e
.
Resposta:
e
.
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala de um cursor que se move numa guia horizontal, preso por duas molas. Quando ele passa pela posição central (s = 0) com uma velocidade inicial
, as molas começam a atuar para retardar o movimento. A aceleração do cursor é proporcional ao deslocamento, mas na direção oposta, dada por
. Nosso objetivo é encontrar as expressões para a posição
e a velocidade
do cursor ao longo do tempo. Vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico simples e resolver uma equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre aceleração e deslocamento. A equação dada é
. Sabemos que aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo, ou seja,
. Então, podemos escrever:
Essa é uma equação diferencial que descreve um movimento harmônico simples, onde a aceleração é proporcional e oposta ao deslocamento.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação diferencial:
A solução geral para essa equação é uma combinação de funções seno e cosseno:
Onde
e
são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 4
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
:
- Quando
, :
- A velocidade inicial
quando . A velocidade é a primeira derivada da posição:
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral:
Para a velocidade: