Uma bola é atirada do chão para o ar. Quando a bola atinge uma altura de 9,0 m a velocidade é dada por v= 6 imath+3 j(m / s). (a) Até que altura a bola subirá; (b) Qual será a distância total percorrida pela bola? © Qual a velocidade da bola (módulo e direção) no instante que ela toca o chão?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de uma bola que é lançada do chão para o ar. A gente precisa descobrir três coisas: (a) até que altura a bola vai subir, (b) qual é a distância total que ela percorre, e © qual a velocidade da bola quando ela toca o chão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos. Vamos precisar entender como funcionam a velocidade, aceleração e as equações de movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a velocidade da bola quando ela está a 9 metros de altura. A velocidade é dada por v = 6 imath + 3 j m/s. Aqui, imath representa a direção horizontal e j a vertical. Isso significa que a bola tem uma velocidade horizontal de 6 m/s e uma velocidade vertical de 3 m/s nessa altura.

Passo 3

Para encontrar até que altura a bola vai subir (parte a), precisamos focar na componente vertical da velocidade. No ponto mais alto, a velocidade vertical será zero, pois a bola para de subir e começa a descer. Vamos usar a equação da velocidade final:
vy^2 = vy0^2 - 2g De
Onde:
  • vy é a velocidade final (0 m/s no ponto mais alto),
  • vy0 é a velocidade inicial vertical (3 m/s),
  • g é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,8 m/s²),
  • De é a variação de altura.
Resolvendo para De:
0 = (3)^2 - 2 times 9,8 times De
Então, a altura total será a altura já alcançada (9 m) mais essa variação:
hmáx = 9 + 0,46 approx 9,46 m á

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b), que é a distância total percorrida pela bola. Como a bola tem uma componente horizontal de velocidade constante (sem aceleração horizontal), a distância horizontal será a mesma durante a subida e a descida. Primeiro, calculamos o tempo que leva para a bola ir do ponto onde a velocidade vertical é 3 m/s até o ponto mais alto.
Usando a equação:
vy = vy0 - g t 0 = 3 - 9,8 t t = 39,8 approx 0,31 s
Esse é o tempo para subir mais 0,46 m. O tempo total de subida até o ponto mais alto (9,46 m) pode ser calculado considerando o movimento desde o chão até os 9 m:
Assumindo que a velocidade inicial foi diferente, mas como temos a velocidade em 9 m, para simplificar, vamos considerar apenas a subida adicional de 0,46 m e o tempo total de subida e descida.
A distância vertical total será o dobro da altura máxima:
dtotal vertical = 2 times 9,46 approx 18,92 m
E a distância horizontal será:
dhorizontal = 6 times (0,31 times 2) approx 6 times 0,62 approx 3,72 m
Então, a distância total percorrida é a soma das distâncias vertical e horizontal:
dtotal = 18,92 + 3,72 approx 22,64 m

Passo 5

Por fim, na parte ©, queremos saber qual será a velocidade da bola quando ela toca o chão. A velocidade horizontal permanece a mesma durante todo o trajeto, que é 6 m/s. A velocidade vertical, ao tocar o chão, será igual em módulo à velocidade que tinha ao passar pelos 9 m, mas com sentido oposto (descendo).
Então, a velocidade vertical será -3 m/s. O módulo total da velocidade é calculado usando o teorema de Pitágoras:
|v| = raiz6^2 + (-3)^2 = raiz36 + 9 = raiz45 approx 6,71 m/s
A direção pode ser encontrada pelo ângulo θ em relação à horizontal:
tan theta = vyvx = -36 = -0,5 theta = arctan(-0,5) approx -26,57^circ
Isso significa que a velocidade está 26,57 graus abaixo da horizontal.

Resposta

(a) A altura máxima que a bola alcança é aproximadamente 9,46 metros.
(b) A distância total percorrida pela bola é aproximadamente 22,64 metros.
© Quando a bola toca o chão, sua velocidade é de aproximadamente 6,71 m/s com uma direção de 26,57 graus abaixo da horizontal.

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