Um menino faz girar acima de sua cabeça uma pedra amarrada na ponta de um barbante, segurando na outra extremidade do mesmo. Considere que o plano do círculo formado pela trajetória da pedra seja horizontal e que o ângulo formado entre o barbante e o plano da trajetória seja igual a theta. Sabendo-se que a massa da pedra é m e que o raio da órbita é r, determine:

Passo 1

Então, temos um menino que está girando uma pedra presa a um barbante. A pedra está descrevendo um círculo no plano horizontal, e o barbante forma um ângulo theta com esse plano. Sabemos a massa da pedra ( m) e o raio da órbita ( r). Vamos usar conceitos de força centrípeta e equilíbrio de forças para descobrir a tensão no barbante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na pedra:
  1. Peso ( P): É a força que a Terra exerce sobre a pedra, direcionada para baixo. Calcula-se como P = m cdot g, onde g é a aceleração da gravidade.
  2. Tensão no barbante ( T): Essa força tem duas componentes:
    • Componente vertical ( T cdot sintheta): Equilibra o peso da pedra.
    • Componente horizontal ( T cdot costheta): Fornece a força centrípeta necessária para manter a pedra em movimento circular.

Passo 3

Como a pedra está em movimento circular, a força horizontal ( T cdot costheta) deve ser igual à força centrípeta ( Fc). A força centrípeta é dada por:
Fc = m cdot v^2r
onde v é a velocidade da pedra.

Passo 4

Além disso, a componente vertical da tensão deve equilibrar o peso da pedra:
T cdot sintheta = m cdot g
Podemos usar essa equação para encontrar a tensão T em termos de m, g e theta:
T = m cdot gsintheta

Passo 5

Agora, substituímos T na equação da força centrípeta:
m cdot gsintheta cdot costheta = m cdot v^2r
Simplificando:
g cdot costhetasintheta = v^2r
v^2 = r cdot g cdot cottheta
onde cottheta = costhetasintheta.

Passo 6

Se quisermos encontrar a velocidade v, basta resolver a equação acima:
v = raizr cdot g cdot cottheta

Resposta

A tensão no barbante é dada por:
T = m cdot gsintheta
E a velocidade da pedra é:
v = raizr cdot g cdot cottheta

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