Um menino faz girar acima de sua cabeça uma pedra amarrada na ponta de um barbante, segurando na outra extremidade do mesmo. Considere que o plano do círculo formado pela trajetória da pedra seja horizontal e que o ângulo formado entre o barbante e o plano da trajetória seja igual a
. Sabendo-se que a massa da pedra é
e que o raio da órbita é
, determine:
Passo 1
Então, temos um menino que está girando uma pedra presa a um barbante. A pedra está descrevendo um círculo no plano horizontal, e o barbante forma um ângulo
com esse plano. Sabemos a massa da pedra (
) e o raio da órbita (
). Vamos usar conceitos de força centrípeta e equilíbrio de forças para descobrir a tensão no barbante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na pedra:
-
Peso (
): É a força que a Terra exerce sobre a pedra, direcionada para baixo. Calcula-se como , onde é a aceleração da gravidade. -
Tensão no barbante (
): Essa força tem duas componentes: - Componente vertical (
): Equilibra o peso da pedra. - Componente horizontal (
): Fornece a força centrípeta necessária para manter a pedra em movimento circular.
- Componente vertical (
Passo 3
Como a pedra está em movimento circular, a força horizontal (
) deve ser igual à força centrípeta (
). A força centrípeta é dada por:
onde
é a velocidade da pedra.
Passo 4
Além disso, a componente vertical da tensão deve equilibrar o peso da pedra:
Podemos usar essa equação para encontrar a tensão
em termos de
,
e
:
Passo 5
Agora, substituímos
na equação da força centrípeta:
Simplificando:
onde
.
Passo 6
Se quisermos encontrar a velocidade
, basta resolver a equação acima:
Resposta
A tensão no barbante é dada por:
E a velocidade da pedra é: