Um menino faz girar acima de sua cabeça uma pedra amarrada na ponta de um barbante, segurando na outra extremidade do mesmo. Considere que o plano do círculo formado pela trajetória da pedra seja horizontal e que o ângulo formado entre o barbante e o plano da trajetória seja igual a . Sabendo-se que a massa da pedra é e que o raio da órbita é , determine:

Passo 1

Então, temos um menino que está girando uma pedra presa a um barbante. A pedra está descrevendo um círculo no plano horizontal, e o barbante forma um ângulo com esse plano. Sabemos a massa da pedra ( ) e o raio da órbita ( ). Vamos usar conceitos de força centrípeta e equilíbrio de forças para descobrir a tensão no barbante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na pedra:
  1. Peso ( ): É a força que a Terra exerce sobre a pedra, direcionada para baixo. Calcula-se como , onde é a aceleração da gravidade.
  2. Tensão no barbante ( ): Essa força tem duas componentes:
    • Componente vertical ( ): Equilibra o peso da pedra.
    • Componente horizontal ( ): Fornece a força centrípeta necessária para manter a pedra em movimento circular.

Passo 3

Como a pedra está em movimento circular, a força horizontal ( ) deve ser igual à força centrípeta ( ). A força centrípeta é dada por:
onde é a velocidade da pedra.

Passo 4

Além disso, a componente vertical da tensão deve equilibrar o peso da pedra:
Podemos usar essa equação para encontrar a tensão em termos de , e :

Passo 5

Agora, substituímos na equação da força centrípeta:
Simplificando:
onde .

Passo 6

Se quisermos encontrar a velocidade , basta resolver a equação acima:

Resposta

A tensão no barbante é dada por:
E a velocidade da pedra é:

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Um menino faz girar acima de sua cabeça uma pedra amarrada na ponta de um barbante, segurando na outra extremidade do mesmo. Considere que o plano do círculo formado pela trajetória da pedra seja horizontal e que o ângulo formado entre o barbante e o plano da trajetória seja igual a . Sabendo-se que a massa da pedra é e que o raio da órbita é , determine o tempo necessário para a pedra completar uma volta.