Seja a posição de um ponto
em três dimensões dada pelo vetor
em coordenada retangulares (Cartesianas). A mesma posição pode ser especificada em coordenadas polares cilíndricas,
, as quais são definidas assim: seja
a projeção de
sobre o plano
; isto é,
tem coordenadas Cartesianas (
). Então,
e
são definidas como as duas coordenadas polares bidimensionais de
no plano
, enquanto
é a terceira coordenada Cartesiana, não modificada. Faça um esboço para ilustrar as três coordenadas cilíndricas. Forneça as expressões para
, z, em termos das três coordenadas cartesianas
e
. Explique o que é
. Há muitas variações em notação. Por exemplo, algumas pessoas usam
em vez de
. Explique por que este uso de
não é apropriado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto
no espaço tridimensional, com posição dada pelas coordenadas cartesianas
. A questão quer que a gente converta essas coordenadas para coordenadas polares cilíndricas
. Para isso, vamos precisar entender como essas coordenadas funcionam e quais fórmulas usar para fazer a conversão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que as coordenadas cartesianas são
, onde
,
e
são medidas ao longo dos eixos perpendiculares. Já nas coordenadas polares cilíndricas, a posição é descrita por
, que é a distância do ponto à origem no plano
,
, que é o ângulo que o vetor posição faz com o eixo
, e
, que permanece o mesmo que na coordenada cartesiana.
Passo 3
Para encontrar
, usamos o teorema de Pitágoras no plano
. Então:
Isso representa a distância do ponto
até a origem projetada no plano
.
Passo 4
O ângulo
é calculado usando a função arco-tangente, que nos dá o ângulo a partir das coordenadas
e
:
Esse ângulo indica a direção do ponto
em relação ao eixo
no plano
.
Passo 5
A coordenada
permanece a mesma nas duas representações, então:
Isso significa que a altura do ponto
acima do plano
não muda na conversão.
Passo 6
Agora, sobre o que é
:
é simplesmente a distância horizontal do ponto
até a origem quando projetamos
no plano
. É como se fosse o “raio” em coordenadas polares bidimensionais, mas estendido para o espaço tridimensional.
Passo 7
Quanto à notação, algumas pessoas usam
no lugar de
para representar essa distância. Porém, isso pode causar confusão porque em coordenadas esféricas
já é usado para a distância do ponto até a origem em todas as direções. Usar
em coordenadas cilíndricas pode misturar os conceitos e complicar a comunicação, especialmente quando lidamos com diferentes sistemas de coordenadas.
Resposta
As expressões para as coordenadas polares cilíndricas em termos das coordenadas cartesianas são:
E
representa a distância do ponto
até a origem no plano
. Usar
ao invés de
não é apropriado porque
já é utilizado em coordenadas esféricas, o que pode causar confusão entre os diferentes sistemas de coordenadas.
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a)
Figura 3. Peça de uma máquina de forma estranha.
a)
Figura 3. Peça de uma máquina de forma estranha.
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.
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.
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Figura 4. Dinâmica do ioiô primitivo: (a) Cálculo da velocidade. (b) Cálculo da aceleração c da tensão no fio.
Seja a posição de um ponto
em três dimensões dada pelo vetor
em coordenada retangulares (Cartesianas). A mesma posição pode ser especificada em coordenadas polares cilíndricas,
, as quais são definidas assim: seja
a projeção de
sobre o plano
; isto é,
tem coordenadas Cartesianas (
). Então,
e
são definidas como as duas coordenadas polares bidimensionais de
no plano
, enquanto
é a terceira coordenada Cartesiana, não modificada. Derive sua última resposta duas vezes em relação a
para determinar as componentes cilíndricas da aceleração
de uma partícula.