Seja a posição de um ponto em três dimensões dada pelo vetor em coordenada retangulares (Cartesianas). A mesma posição pode ser especificada em coordenadas polares cilíndricas, , as quais são definidas assim: seja a projeção de sobre o plano ; isto é, tem coordenadas Cartesianas ( ). Então, e são definidas como as duas coordenadas polares bidimensionais de no plano , enquanto é a terceira coordenada Cartesiana, não modificada. Faça um esboço para ilustrar as três coordenadas cilíndricas. Forneça as expressões para , z, em termos das três coordenadas cartesianas e . Explique o que é . Há muitas variações em notação. Por exemplo, algumas pessoas usam em vez de . Explique por que este uso de não é apropriado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto no espaço tridimensional, com posição dada pelas coordenadas cartesianas . A questão quer que a gente converta essas coordenadas para coordenadas polares cilíndricas . Para isso, vamos precisar entender como essas coordenadas funcionam e quais fórmulas usar para fazer a conversão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as coordenadas cartesianas são , onde , e são medidas ao longo dos eixos perpendiculares. Já nas coordenadas polares cilíndricas, a posição é descrita por , que é a distância do ponto à origem no plano , , que é o ângulo que o vetor posição faz com o eixo , e , que permanece o mesmo que na coordenada cartesiana.

Passo 3

Para encontrar , usamos o teorema de Pitágoras no plano . Então:
Isso representa a distância do ponto até a origem projetada no plano .

Passo 4

O ângulo é calculado usando a função arco-tangente, que nos dá o ângulo a partir das coordenadas e :
Esse ângulo indica a direção do ponto em relação ao eixo no plano .

Passo 5

A coordenada permanece a mesma nas duas representações, então:
Isso significa que a altura do ponto acima do plano não muda na conversão.

Passo 6

Agora, sobre o que é : é simplesmente a distância horizontal do ponto até a origem quando projetamos no plano . É como se fosse o “raio” em coordenadas polares bidimensionais, mas estendido para o espaço tridimensional.

Passo 7

Quanto à notação, algumas pessoas usam no lugar de para representar essa distância. Porém, isso pode causar confusão porque em coordenadas esféricas já é usado para a distância do ponto até a origem em todas as direções. Usar em coordenadas cilíndricas pode misturar os conceitos e complicar a comunicação, especialmente quando lidamos com diferentes sistemas de coordenadas.

Resposta

As expressões para as coordenadas polares cilíndricas em termos das coordenadas cartesianas são:
E representa a distância do ponto até a origem no plano . Usar ao invés de não é apropriado porque já é utilizado em coordenadas esféricas, o que pode causar confusão entre os diferentes sistemas de coordenadas.

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Seja a posição de um ponto em três dimensões dada pelo vetor em coordenada retangulares (Cartesianas). A mesma posição pode ser especificada em coordenadas polares cilíndricas, , as quais são definidas assim: seja a projeção de sobre o plano ; isto é, tem coordenadas Cartesianas ( ). Então, e são definidas como as duas coordenadas polares bidimensionais de no plano , enquanto é a terceira coordenada Cartesiana, não modificada. Derive sua última resposta duas vezes em relação a para determinar as componentes cilíndricas da aceleração de uma partícula.