Uma bola é atirada para cima do topo de um edifício. Depois de t segundos, sua altura é dada por h = 30 + 5t - 5t^2. Pergunta-se:
(a) Qual a altura do edifício?
(b) Qual a velocidade da bola no instante t ? Qual a sua velocidade inicial?
© Qual a altura máxima que a bola atinge ? Quando é que ela atinge essa altura?
(d) Quando é que a bola atinge o chão ? Com que velocidade ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos conta que uma bola é lançada para cima do topo de um edifício, e a altura da bola depois de t segundos é dada por . Vamos usar conceitos de Movimento Uniformemente Variado (MUV) para resolver as perguntas. Vamos precisar entender como a equação da altura funciona e como derivar para encontrar a velocidade.

Passo 2

Parte (a): Qual a altura do edifício?
Quando a bola é lançada, o tempo t é igual a 0. Vamos substituir na equação da altura:
Então, a altura do edifício é 30 metros.

Passo 3

Parte (b): Qual a velocidade da bola no instante t? Qual a sua velocidade inicial?
A velocidade é a derivada da altura em relação ao tempo. Vamos derivar em relação a t:
A velocidade no instante t é, portanto, m/s.
Para encontrar a velocidade inicial, substituímos :
Então, a velocidade inicial da bola é 5 m/s.

Passo 4

Parte ©: Qual a altura máxima que a bola atinge? Quando é que ela atinge essa altura?
A altura máxima ocorre quando a velocidade é zero. Vamos achar o tempo t em que :
Agora, substituímos na equação de h para encontrar a altura máxima:
Portanto, a altura máxima que a bola atinge é 31,25 metros, alcançada em 0,5 segundos.

Passo 5

Parte (d): Quando é que a bola atinge o chão? Com que velocidade?
A bola atinge o chão quando a altura . Vamos resolver a equação:
Resolvendo a equação quadrática :
Temos duas soluções:
  1. segundos
  2. segundos (não faz sentido no contexto)
Então, a bola atinge o chão em 3 segundos.
Agora, para encontrar a velocidade nesse instante, substituímos na equação da velocidade:
O sinal negativo indica que a direção da velocidade é para baixo. Assim, a velocidade da bola ao atingir o chão é -25 m/s.

Resposta

a) A altura do edifício é 30 metros.
b) A velocidade da bola no instante t é m/s e a velocidade inicial é 5 m/s.
c) A altura máxima que a bola atinge é 31,25 metros, alcançada em 0,5 segundos.
d) A bola atinge o chão em 3 segundos com uma velocidade de -25 m/s.

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