Uma bola é atirada para cima do topo de um edifício. Depois de
segundos, sua altura é dada por
. Pergunta-se:
(a) Qual a altura do edifício?
(b) Qual a velocidade da bola no instante
? Qual a sua velocidade inicial?
© Qual a altura máxima que a bola atinge ? Quando é que ela atinge essa altura?
(d) Quando é que a bola atinge o chão ? Com que velocidade ?
(a) Qual a altura do edifício?
(b) Qual a velocidade da bola no instante
© Qual a altura máxima que a bola atinge ? Quando é que ela atinge essa altura?
(d) Quando é que a bola atinge o chão ? Com que velocidade ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos conta que uma bola é lançada para cima do topo de um edifício, e a altura da bola depois de
segundos é dada por
. Vamos usar conceitos de Movimento Uniformemente Variado (MUV) para resolver as perguntas. Vamos precisar entender como a equação da altura funciona e como derivar para encontrar a velocidade.
Passo 2
Parte (a): Qual a altura do edifício?
Quando a bola é lançada, o tempo
é igual a 0. Vamos substituir
na equação da altura:
Então, a altura do edifício é 30 metros.
Passo 3
Parte (b): Qual a velocidade da bola no instante
? Qual a sua velocidade inicial?
A velocidade é a derivada da altura em relação ao tempo. Vamos derivar
em relação a
:
A velocidade no instante
é, portanto,
m/s.
Para encontrar a velocidade inicial, substituímos
:
Então, a velocidade inicial da bola é 5 m/s.
Passo 4
Parte ©: Qual a altura máxima que a bola atinge? Quando é que ela atinge essa altura?
A altura máxima ocorre quando a velocidade é zero. Vamos achar o tempo
em que
:
Agora, substituímos
na equação de
para encontrar a altura máxima:
Portanto, a altura máxima que a bola atinge é 31,25 metros, alcançada em 0,5 segundos.
Passo 5
Parte (d): Quando é que a bola atinge o chão? Com que velocidade?
A bola atinge o chão quando a altura
. Vamos resolver a equação:
Resolvendo a equação quadrática
:
Temos duas soluções:
-
segundos -
segundos (não faz sentido no contexto)
Então, a bola atinge o chão em 3 segundos.
Agora, para encontrar a velocidade nesse instante, substituímos
na equação da velocidade:
O sinal negativo indica que a direção da velocidade é para baixo. Assim, a velocidade da bola ao atingir o chão é -25 m/s.
Resposta
a) A altura do edifício é 30 metros.
b) A velocidade da bola no instante
é
m/s e a velocidade inicial é 5 m/s.
c) A altura máxima que a bola atinge é 31,25 metros, alcançada em 0,5 segundos.
d) A bola atinge o chão em 3 segundos com uma velocidade de -25 m/s.