Utilizando regras de derivação, calcule as seguintes derivadas:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma lista de derivadas pra calcular usando regras de derivação. A matéria aqui é cálculo diferencial, focando em como encontrar a derivada de diferentes tipos de funções. Vamos precisar lembrar de regras como a derivada da soma, produto, quociente, função composta, exponenciais, logaritmos e trigonométricas. Vamos resolver cada item passo a passo!

Passo 2

(a)

Primeiro, lembre-se que a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Então vamos derivar cada termo separadamente.
  • Derivada de : Usamos a regra do poder ( ), então .
  • Derivada de : Novamente, regra do poder. .
  • Derivada de : Derivada de é 1, então .
  • Derivada de : Constante, derivada é 0.

Passo 3

Então, juntando tudo:

Passo 4

(b)

Aqui, temos uma função exponencial com uma função dentro, então vamos usar a regra da cadeia. A derivada de é , onde .
Derivando , temos .
Então:

Passo 5

©

Aqui, temos um produto de duas funções: e . Vamos usar a regra do produto: .
  • , então .
  • , então .
Aplicando a regra:

Passo 6

(d)

Função do produto novamente: e .
  • , então .
  • , então .
Aplicando a regra do produto:

Passo 7

(e)

Vamos derivar termo a termo.
  • Derivada de : Usamos a regra do produto.
    • , .
    • , .
    • Então, .
  • Derivada de : .
Juntando:

Passo 8

(f)

Derivamos cada termo separadamente.
  • Derivada de : 1.
  • Derivada de : Regra do produto.
    • , .
    • , .
    • Então, .
Juntando:

Passo 9

(g)

Aqui, temos uma função composta: ao quadrado. Usamos a regra da cadeia.
Se , então .
  • Derivada de é .
  • .
Então:
Podemos também escrever como usando identidade trigonométrica, mas a forma já está boa.

Passo 10

(h)

Temos um produto de três funções: , e . Vamos usar a regra do produto de várias funções, que é um pouco mais trabalhosa.
A derivada será:
Calculando cada parte:
Então:

Passo 11

(i)

Temos um quociente, então vamos usar a regra do quociente: .
  • , .
  • , .
Aplicando:

Passo 12

(j)

Usamos novamente a regra do quociente.
  • , .
  • , .
Aplicando:

Passo 13

(k)

Produto de duas funções: e . Usamos a regra do produto.
  • , .
  • , .
Então:

Passo 14

(l)

Aqui, parece que é uma constante em relação a (já que a derivada é em relação a ), então é uma constante.
Derivada de constante é 0.

Passo 15

(m)

Novamente, é uma constante se não depende de . Então a derivada é 0.

Passo 16

(n)

Usamos a regra do quociente.
  • , (regra do produto).
  • , .
Aplicando:

Resposta

As derivadas são:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)

Exercícios relacionados

Estude a continuidade e a diferenciabilidade das funções abaixo no ponto :
(a)
(b) .
Uma bola é atirada para cima do topo de um edifício. Depois de segundos, sua altura é dada por . Pergunta-se:
(a) Qual a altura do edifício?
(b) Qual a velocidade da bola no instante ? Qual a sua velocidade inicial?
© Qual a altura máxima que a bola atinge ? Quando é que ela atinge essa altura?
(d) Quando é que a bola atinge o chão ? Com que velocidade ?
A medida do lado de um quadrado varia com o tempo. No instante em que o lado mede a taxa de variação da área é de . Qual é a taxa de variação do lado em relação ao tempo neste instante?
Um resultado bastante utilizado é que, para grande o bastante, é muito maior que (o crescimento exponencial é muito mais rápido que o polinomial), e é muito menor que (o crescimento logarítmico é muito mais lento que o de qualquer raiz). Prove isso, garantindo que:
(a)
(b)