Utilizando regras de derivação, calcule as seguintes derivadas:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma lista de derivadas pra calcular usando regras de derivação. A matéria aqui é cálculo diferencial, focando em como encontrar a derivada de diferentes tipos de funções. Vamos precisar lembrar de regras como a derivada da soma, produto, quociente, função composta, exponenciais, logaritmos e trigonométricas. Vamos resolver cada item passo a passo!
Passo 2
(a)
Primeiro, lembre-se que a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Então vamos derivar cada termo separadamente.
- Derivada de
: Usamos a regra do poder ( ), então . - Derivada de
: Novamente, regra do poder. . - Derivada de
: Derivada de é 1, então . - Derivada de
: Constante, derivada é 0.
Passo 3
Então, juntando tudo:
Passo 4
(b)
Aqui, temos uma função exponencial com uma função dentro, então vamos usar a regra da cadeia. A derivada de
é
, onde
.
Derivando
, temos
.
Então:
Passo 5
©
Aqui, temos um produto de duas funções:
e . Vamos usar a regra do produto:
.
-
, então . - , então
.
Aplicando a regra:
Passo 6
(d)
Função do produto novamente:
e
.
-
, então . -
, então .
Aplicando a regra do produto:
Passo 7
(e)
Vamos derivar termo a termo.
- Derivada de
: Usamos a regra do produto. -
, . -
, . - Então,
.
-
- Derivada de
: .
Juntando:
Passo 8
(f)
Derivamos cada termo separadamente.
- Derivada de
: 1. - Derivada de
: Regra do produto. -
, . -
, . - Então, .
-
Juntando:
Passo 9
(g)
Aqui, temos uma função composta: ao quadrado. Usamos a regra da cadeia.
Se , então .
- Derivada de
é . -
.
Então:
Podemos também escrever como usando identidade trigonométrica, mas a forma já está boa.
Passo 10
(h)
Temos um produto de três funções:
,
e . Vamos usar a regra do produto de várias funções, que é um pouco mais trabalhosa.
A derivada será:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 11
(i)
Temos um quociente, então vamos usar a regra do quociente:
.
-
, . -
, .
Aplicando:
Passo 12
(j)
Usamos novamente a regra do quociente.
- ,
. -
, .
Aplicando:
Passo 13
(k)
Produto de duas funções:
e . Usamos a regra do produto.
-
, . - ,
.
Então:
Passo 14
(l)
Aqui, parece que
é uma constante em relação a
(já que a derivada é em relação a
), então
é uma constante.
Derivada de constante é 0.
Passo 15
(m)
Novamente,
é uma constante se
não depende de
. Então a derivada é 0.
Passo 16
(n)
Usamos a regra do quociente.
-
, (regra do produto). -
, .
Aplicando:
Resposta
As derivadas são:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
Exercícios relacionados
Estude a continuidade e a diferenciabilidade das funções abaixo no ponto
:
(a)
(b) .
(a)
(b)
Uma bola é atirada para cima do topo de um edifício. Depois de
segundos, sua altura é dada por
. Pergunta-se:
(a) Qual a altura do edifício?
(b) Qual a velocidade da bola no instante ? Qual a sua velocidade inicial?
© Qual a altura máxima que a bola atinge ? Quando é que ela atinge essa altura?
(d) Quando é que a bola atinge o chão ? Com que velocidade ?
(a) Qual a altura do edifício?
(b) Qual a velocidade da bola no instante
© Qual a altura máxima que a bola atinge ? Quando é que ela atinge essa altura?
(d) Quando é que a bola atinge o chão ? Com que velocidade ?
A medida do lado de um quadrado varia com o tempo. No instante em que o lado mede
a taxa de variação da área é de
. Qual é a taxa de variação do lado em relação ao tempo neste instante?
Um resultado bastante utilizado é que, para
grande o bastante,
é muito maior que
(o crescimento exponencial é muito mais rápido que o polinomial), e
é muito menor que
(o crescimento logarítmico é muito mais lento que o de qualquer raiz). Prove isso, garantindo que:
(a)
(b)
(a)
(b)