Utilizando regras de derivação, calcule as seguintes derivadas:
(a) d/dx (2x^5 - x^3/6 + 4x - 7)
(b) (e^(x+3))'
© (x^5 sen(x))'
(d) (2 * raiz(t) * cos(t))'
(e) (x ln x - x)'
(f) (x + 2 x cos(x))'
(g) (sen(x))^2'
(h) (x^2 * ln(x) * sen(x))'
(i) ((x^2 + 2) / (x^3))'
(j) d/dθ (sen(θ)/θ)
(k) d/dx(e^x tg(x))
(l) d/dx e^(-s)
(m) (e^(-s))'
(n) d/dx (x e^x / (x + 1)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma lista de derivadas pra calcular usando regras de derivação. A matéria aqui é cálculo diferencial, focando em como encontrar a derivada de diferentes tipos de funções. Vamos precisar lembrar de regras como a derivada da soma, produto, quociente, função composta, exponenciais, logaritmos e trigonométricas. Vamos resolver cada item passo a passo!

Passo 2

(a)

Primeiro, lembre-se que a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Então vamos derivar cada termo separadamente.
  • Derivada de : Usamos a regra do poder ( ), então .
  • Derivada de : Novamente, regra do poder. .
  • Derivada de : Derivada de é 1, então .
  • Derivada de : Constante, derivada é 0.

Passo 3

Então, juntando tudo:

Passo 4

(b)

Aqui, temos uma função exponencial com uma função dentro, então vamos usar a regra da cadeia. A derivada de é , onde .
Derivando , temos .
Então:

Passo 5

©

Aqui, temos um produto de duas funções: e . Vamos usar a regra do produto: .
  • , então .
  • , então .
Aplicando a regra:

Passo 6

(d)

Função do produto novamente: e .
  • , então .
  • , então .
Aplicando a regra do produto:

Passo 7

(e)

Vamos derivar termo a termo.
  • Derivada de : Usamos a regra do produto.
    • , .
    • , .
    • Então, .
  • Derivada de : .
Juntando:

Passo 8

(f)

Derivamos cada termo separadamente.
  • Derivada de : 1.
  • Derivada de : Regra do produto.
    • , .
    • , .
    • Então, .
Juntando:

Passo 9

(g)

Aqui, temos uma função composta: ao quadrado. Usamos a regra da cadeia.
Se , então .
  • Derivada de é .
  • .
Então:
Podemos também escrever como usando identidade trigonométrica, mas a forma já está boa.

Passo 10

(h)

Temos um produto de três funções: , e . Vamos usar a regra do produto de várias funções, que é um pouco mais trabalhosa.
A derivada será:
Calculando cada parte:
Então:

Passo 11

(i)

Temos um quociente, então vamos usar a regra do quociente: .
  • , .
  • , .
Aplicando:

Passo 12

(j)

Usamos novamente a regra do quociente.
  • , .
  • , .
Aplicando:

Passo 13

(k)

Produto de duas funções: e . Usamos a regra do produto.
  • , .
  • , .
Então:

Passo 14

(l)

Aqui, parece que é uma constante em relação a (já que a derivada é em relação a ), então é uma constante.
Derivada de constante é 0.

Passo 15

(m)

Novamente, é uma constante se não depende de . Então a derivada é 0.

Passo 16

(n)

Usamos a regra do quociente.
  • , (regra do produto).
  • , .
Aplicando:

Resposta

As derivadas são:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)

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