Uma bola é atirada no ar com velocidade de
e sua altura após
segundos é dada por
. Encontre a velocidade média para o período de tempo que começa quando
e dura:
a)
b)
c)
d)
, com
tendendo a 0
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma bola foi lançada para cima com uma velocidade inicial de
, e a altura dela após
segundos é dada por
. A gente precisa calcular a velocidade média da bola em diferentes períodos que começam em
e duram:
a)
b)
c)
d) um intervalo que tende a zero.
a)
b)
c)
d) um intervalo
Para resolver isso, vamos usar a fórmula da velocidade média, que é a variação da posição dividida pelo intervalo de tempo. Além disso, vamos lembrar que a derivada da posição em relação ao tempo nos dá a velocidade instantânea.
Passo 2
Parte a) 0,5 segundos
Primeiro, vamos calcular a posição da bola em
:
Agora, calculamos a posição em
:
A variação da posição é:
O intervalo de tempo é
, então a velocidade média é:
Passo 3
Parte b) 0,01 segundos
Calculamos a posição em
:
E em
:
A variação da posição é:
O intervalo de tempo é
, então a velocidade média é:
Passo 4
Parte c) 0,001 segundos
Posição em
:
Em
:
Variação da posição:
Intervalo de tempo:
.
Passo 5
Parte d)
tendendo a 0 segundos
Aqui, estamos querendo encontrar a velocidade instantânea no instante
. Isso é feito levando o limite da velocidade média quando
tende a zero:
Usando a função
, derivamos em relação a
:
Então, em
:
Resposta
a) A velocidade média é
.
b) A velocidade média é
.
c) A velocidade média é
.
d) A velocidade instantânea em
é
.
Exercícios relacionados
Determine os limites, caso exista:
Determine os limites, caso exista:
Determine os valores de
ou
para que as funções definidas por partes sejam contínuas em todo o intervalo designado:
Verifique se a função dada é contínua. Justifique a sua resposta: