Uma bola de boliche, com
de raio e
de massa, rola sem deslizar a
, na pista de retorno horizontal. Ela continua a rolar, sem deslizar, ao subir uma rampa até a altura h, quando atinge momentaneamente o repouso e desce de volta. Considere a esfera homogênea e determine
. Considere
.
Passo 1
Então, vamos lá! Temos uma bola de boliche que está rolando sem deslizar em uma pista horizontal e depois sobe uma rampa até parar momentaneamente na altura
. O enunciado nos dá o raio da bola (
), a massa (
), e a velocidade inicial (
). A gente precisa descobrir qual é essa altura
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia cinética e energia potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a energia total da bola enquanto ela rola é a soma da energia cinética translacional (de movimento para frente) e da energia cinética rotacional (de rotação). Quando a bola para na altura
, toda essa energia se transforma na energia potencial gravitacional. Então, podemos igualar a energia cinética total à energia potencial na altura
.
Passo 3
Vamos calcular a energia cinética translacional (
):
Onde:
-
é a massa da bola. -
é a velocidade.
Substituindo:
Passo 4
Agora, vamos calcular a energia cinética rotacional (
). Para isso, usamos a fórmula:
Sabemos que a bola rola sem deslizar, o que significa que a velocidade linear (
) está relacionada à velocidade angular (
) pela relação
. Podemos então expressar
em termos de
:
Dado que o raio
, temos:
Agora, usando o momento de inércia fornecido (
):
Então,
Passo 5
Agora, somamos as energias cinéticas:
Esse valor de energia será igual à energia potencial gravitacional na altura
:
Onde
. Então:
Passo 6
Resolvendo para
:
Resposta
A altura
que a bola alcança é aproximadamente 0,285 metros.