Uma bola de boliche, com 11 cm de raio e 7,2 kg de massa, rola sem deslizar a 2 m / s, na pista de retorno horizontal. Ela continua a rolar, sem deslizar, ao subir uma rampa até a altura h, quando atinge momentaneamente o repouso e desce de volta. Considere a esfera homogênea e determine h. Considere ICM=(2 / 5) cdot M R^2.

Passo 1

Então, vamos lá! Temos uma bola de boliche que está rolando sem deslizar em uma pista horizontal e depois sobe uma rampa até parar momentaneamente na altura . O enunciado nos dá o raio da bola ( ), a massa ( ), e a velocidade inicial ( ). A gente precisa descobrir qual é essa altura . Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia cinética e energia potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a energia total da bola enquanto ela rola é a soma da energia cinética translacional (de movimento para frente) e da energia cinética rotacional (de rotação). Quando a bola para na altura , toda essa energia se transforma na energia potencial gravitacional. Então, podemos igualar a energia cinética total à energia potencial na altura .

Passo 3

Vamos calcular a energia cinética translacional ( Etrans = 12 M v^2 ):
Etrans = 12 times 7,2 times 2^2 = 12 times 7,2 times 4 = 14,4 , J
Onde:
  • é a massa da bola.
  • é a velocidade.
Substituindo:

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia cinética rotacional ( Erot = 12 I omega^2 ). Para isso, usamos a fórmula:
omega = vR
Sabemos que a bola rola sem deslizar, o que significa que a velocidade linear ( omega = 20,11 approx 18,18 , rad/s ) está relacionada à velocidade angular ( I = 25 times 7,2 times 0,11^2 = 25 times 7,2 times 0,0121 approx 0,0347 , kg cdot m^2 ) pela relação Erot = 12 times 0,0347 times 18,18^2 approx 12 times 0,0347 times 330,55 approx 5,73 , J . Podemos então expressar em termos de :
Dado que o raio , temos:
Agora, usando o momento de inércia fornecido ( ):
Então,

Passo 5

Agora, somamos as energias cinéticas:
Etotal = Etrans + Erot = 14,4 + 5,73 = 20,13 , J
Esse valor de energia será igual à energia potencial gravitacional na altura Epot = M g h :
20,13 = 7,2 times 9,8 times h
Onde . Então:

Passo 6

Resolvendo para h = 20,137,2 times 9,8 = 20,1370,56 approx 0,285 , m :

Resposta

A altura que a bola alcança é aproximadamente 0,285 metros.

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