Dois blocos estão ligados por um fio que passa por uma polia de raio R e momento de inércia I. O bloco de massa m 1 desliza sobre uma superfície horizontal sem atrito; o bloco de massa m2 está suspenso pelo fio. Determine a aceleração a dos blocos e as tensões T1 e T2. O fio não desliza na polia. Dados R=0,5 m ; I=20 kg cdot m^2 ; m 1=2 kg ; m 2=3 kg. Considere para polia Icm= (1/2).M.R

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois blocos ligados por um fio que passa por uma polia. O bloco de massa m1 (2 kg) está deslizando sobre uma superfície horizontal sem atrito, e o bloco de massa m2 (3 kg) está suspenso pelo fio. A polia tem raio R = 0,5 m e momento de inércia I = 20 , kg cdot m^2. Queremos encontrar a aceleração dos blocos ( a) e as tensões no fio nos dois lados da polia ( T1 e T2). Para resolver isso, vamos usar as leis de Newton e os conceitos de rotação de corpos rígidos.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um diagrama de forças para cada bloco e para a polia. No bloco m1, temos a força de tensão T1 puxando-o para a direita. No bloco m2, temos a força da gravidade m2 g puxando para baixo e a tensão T2 puxando para cima. Na polia, as tensões T1 e T2 causam um torque que faz a polia girar.

Passo 3

Vamos aplicar a segunda lei de Newton para o bloco m1. Como não há atrito, a única força horizontal é T1. Então:
T1 = m1 cdot a
Aqui, a é a aceleração que queremos encontrar.

Passo 4

Agora, para o bloco m2, aplicamos a segunda lei de Newton na direção vertical. A força para baixo é m2 g e para cima é T2. Então:
m2 g - T2 = m2 cdot a

Passo 5

Para a polia, vamos considerar que ela está girando sem atrito e que o fio não desliza. O torque total na polia é dado por:
tau = T2 cdot R - T1 cdot R = I cdot alpha
Onde alpha é a aceleração angular da polia. Mas sabemos que a aceleração linear a está relacionada com alpha pela equação:
a = alpha cdot R Rightarrow alpha = aR
Substituindo na equação do torque:
T2 cdot R - T1 cdot R = I cdot aR
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por R:
T2 - T1 = I cdot aR^2

Passo 6

Agora temos três equações:
  1. T1 = m1 cdot a
  2. m2 g - T2 = m2 cdot a
  3. T2 - T1 = I cdot aR^2
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar a, T1 e T2.
Primeiro, da equação 1, temos T1 = m1 a. Vamos substituir T1 na equação 3:
T2 - m1 a = I cdot aR^2 Rightarrow T2 = m1 a + I cdot aR^2

Passo 7

Agora, substituímos T2 na equação 2:
m2 g - ( m1 a + I cdot aR^2 ) = m2 a
Vamos rearranjar para isolar a:
m2 g = m1 a + I cdot aR^2 + m2 a
m2 g = a ( m1 + m2 + IR^2 )
a = m2 gm1 + m2 + IR^2

Passo 8

Agora, vamos substituir os valores fornecidos:
a = 3 times 9,82 + 3 + 200,5^2 = 29,45 + 200,25 = 29,45 + 80 = 29,485 approx 0,345 , m/s^2

Passo 9

Com o valor de a, podemos encontrar T1 e T2.
Primeiro, T1 = m1 a = 2 times 0,345 = 0,69 , N.
Segundo, T2 = m1 a + I aR^2 = 0,69 + 20 times 0,3450,25 = 0,69 + 6,90,25 = 0,69 + 27,6 = 28,29 , N.

Resposta

A aceleração dos blocos é aproximadamente 0,345 , m/s^2, a tensão T1 é 0,69 , N e a tensão T2 é 28,29 , N.

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