Uma bola de boliche de raio R=11 cm e massa M=7,2 kg desce rolando a partir do repouso uma rampa de comprimento L=2,1 m. A rampa está inclinada em um ângulo theta=340 em relação a horizontal. Qual a velocidade da bola quando chega ao final da rampa? Suponha que ela tenha densidade constante.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. Temos uma bola de boliche com raio e massa que desce rolando uma rampa de comprimento inclinada em um ângulo de em relação à horizontal. Queremos descobrir qual é a velocidade da bola quando ela chega ao final da rampa. Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de energia potencial gravitacional e energia cinética rotacional e translacional.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a altura h = L cdot sin(theta) que a bola desce na rampa. Isso é importante porque a energia potencial gravitacional vai se transformar em energia cinética. A altura pode ser encontrada usando a relação trigonométrica:
h = 2,1 m cdot sin(34^circ) approx 2,1 m cdot 0,559 approx 1,175 m
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos calcular a Energia Potencial Gravitacional (Epg) no início da rampa. A fórmula é:
Epg = M cdot g cdot h
Onde Epg = 7,2 kg cdot 9,8 m/s^2 cdot 1,175 m approx 82,9 J é a aceleração da gravidade. Então:

Passo 4

Quando a bola desce a rampa, essa energia potencial se transforma em energia cinética, que tem duas partes: a translacional (de movimento linear) e a rotacional (de rotação). A fórmula para a energia cinética total é:
Ectotal = 12 M v^2 + 12 I omega^2
Onde:
  • I = 25 M R^2 é a velocidade linear da bola.
  • é o momento de inércia da bola.
  • é a velocidade angular.
Como a bola rola sem deslizar, temos . Para uma esfera sólida, o momento de inércia é:

Passo 5

Vamos substituir Ectotal = 12 M v^2 + 12 ( 25 M R^2 ) ( vR )^2 = 12 M v^2 + 15 M v^2 = 710 M v^2 na fórmula da energia cinética total:

Passo 6

Agora, igualamos a energia potencial inicial à energia cinética final:
M cdot g cdot h = 710 M v^2
Podemos cancelar a massa g cdot h = 710 v^2 de ambos os lados:

Passo 7

Resolvendo para v^2 = 107 g h v = raiz 107 cdot 9,8 m/s^2 cdot 1,175 m approx raiz 107 cdot 11,515 approx raiz 16,45 approx 4,05 m/s :

Resposta

A velocidade da bola quando chega ao final da rampa é aproximadamente .

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