Uma bola de boliche de raio e massa desce rolando a partir do repouso uma rampa de comprimento . A rampa está inclinada em um ângulo em relação a horizontal. Qual a velocidade da bola quando chega ao final da rampa? Suponha que ela tenha densidade constante.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. Temos uma bola de boliche com raio e massa que desce rolando uma rampa de comprimento inclinada em um ângulo de em relação à horizontal. Queremos descobrir qual é a velocidade da bola quando ela chega ao final da rampa. Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de energia potencial gravitacional e energia cinética rotacional e translacional.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a altura que a bola desce na rampa. Isso é importante porque a energia potencial gravitacional vai se transformar em energia cinética. A altura pode ser encontrada usando a relação trigonométrica:
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos calcular a Energia Potencial Gravitacional (Epg) no início da rampa. A fórmula é:
Onde é a aceleração da gravidade. Então:
Passo 4
Quando a bola desce a rampa, essa energia potencial se transforma em energia cinética, que tem duas partes: a translacional (de movimento linear) e a rotacional (de rotação). A fórmula para a energia cinética total é:
Onde:
é a velocidade linear da bola.
é o momento de inércia da bola.
é a velocidade angular.
Como a bola rola sem deslizar, temos . Para uma esfera sólida, o momento de inércia é:
Passo 5
Vamos substituir na fórmula da energia cinética total:
Passo 6
Agora, igualamos a energia potencial inicial à energia cinética final:
Podemos cancelar a massa de ambos os lados:
Passo 7
Resolvendo para :
Resposta
A velocidade da bola quando chega ao final da rampa é aproximadamente .