Dado o vetor v=(2,-1,-3), determinar o vetor paralelo a v que tenha:
Calcule o vetor com sentido contrário ao de v e três vezes o módulo de v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá um vetor v = (2, -1, -3) e pede para encontrar um vetor que seja paralelo a v, mas que tenha duas características específicas:
  1. Sentido contrário ao de v.
  2. Três vezes o módulo de v.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores paralelos, multiplicação por escalar e cálculo de módulo (ou comprimento) de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um vetor ser paralelo a outro. Dois vetores são paralelos se um for um múltiplo escalar do outro. Ou seja, se existe um número real k tal que:
w = k cdot v
Aqui, w é o vetor que queremos encontrar.

Passo 3

Agora, como o exercício pede que o vetor tenha sentido contrário ao de v, isso significa que o escalar k deve ser negativo. Portanto, podemos escrever:
w = -k cdot v

Passo 4

Além disso, o vetor w deve ter um módulo três vezes maior que o de v. O módulo de um vetor v = (vx, vy, vz) é dado por:
|v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Vamos calcular o módulo de v:
|v| = raiz2^2 + (-1)^2 + (-3)^2 = raiz4 + 1 + 9 = raiz14
Então, o módulo de w deve ser:
|w| = 3 cdot |v| = 3raiz14

Passo 5

Sabemos que:
|w| = | -k cdot v | = |k| cdot |v| = k cdot |v|
Como queremos que |w| = 3|v|, temos:
k cdot |v| = 3|v| k = 3

Passo 6

Agora que encontramos k = 3, podemos substituir na expressão de w:
w = -3 cdot v = -3 cdot (2, -1, -3) = (-6, 3, 9)

Resposta

O vetor paralelo a v com sentido contrário e três vezes o módulo de v é w = (-6,,3,,9).

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