O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores e , sendo M e N pontos médios dos lados DC e AB , respectivamente. Complete as sentenças convenientemente:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um paralelogramo ABCD definido pelos vetores e . Além disso, M e N são os pontos médios dos lados DC e AB, respectivamente. A questão quer que a gente complete a sentença:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades dos vetores em paralelogramos e como eles se relacionam com as diagonais. Vamos usar a teoria de vetores básica e as características geométricas dos paralelogramos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um paralelogramo, os lados opostos são iguais e paralelos. Isso significa que:
Também sabemos que as diagonais de um paralelogramo se bissetam. Isso quer dizer que o ponto de intersecção das diagonais divide cada diagonal em duas partes iguais.

Passo 3

Agora, vamos analisar a soma dos vetores e . Visualmente, isso significa que estamos indo de A para D e depois de A para B. Mas, para somar vetores, colocamos o início de no final de .
Então, temos:

Passo 4

No contexto do paralelogramo, a soma nos leva do ponto A até o ponto C, passando por D e B. Isso é basicamente a diagonal .
Então, concluímos que:

Resposta

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Uma bola de boliche de raio e massa desce rolando a partir do repouso uma rampa de comprimento . A rampa está inclinada em um ângulo em relação a horizontal. Qual a velocidade da bola quando chega ao final da rampa? Suponha que ela tenha densidade constante.
Dado o vetor , determinar o vetor paralelo a que tenha:
Calcule o vetor com sentido contrário ao de e três vezes o módulo de .
Decida se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo:
, então e são paralelos.
Obter o ponto do eixo das abscissas equidistantes dos pontos e .