Uma bola de boliche tem raio
e tem uma velocidade inicial
do seu centro de massa e velocidade angular
tão logo seja lançada pelo jogador e toque o chão. Na sua viagem, a bola sofre a ação de um coeficiente de atrito cinético
.
A que distância do lançador a bola começará a rolar sem deslizar ?
A que distância do lançador a bola começará a rolar sem deslizar ?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma bola de boliche com raio
que é lançada com uma velocidade inicial do centro
e uma velocidade angular inicial
. Quando a bola toca o chão, ela começa a deslizar por conta do atrito cinético com coeficiente
. A pergunta é: a que distância do lançador a bola vai começar a rolar sem deslizar? Vamos usar conceitos de cinemática rotacional e forças de atrito para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando a bola está deslizando, o atrito cinético está agindo contra a direção do movimento linear e também causando uma desaceleração na velocidade angular. A força de atrito
pode ser calculada como
, onde
é a força normal. Como a bola está sobre uma superfície horizontal,
, então
. Essa força vai desacelerar a velocidade linear e também causar uma aceleração angular.
Passo 3
Agora, vamos escrever as equações para a desaceleração linear e a aceleração angular. A força de atrito
causa uma desaceleração linear
dada por:
Para a aceleração angular
, usamos o torque
, onde
é o momento de inércia da bola de boliche. Para uma esfera sólida,
. Então:
Passo 4
A condição para a bola começar a rolar sem deslizar é que a velocidade linear
seja igual à velocidade angular multiplicada pelo raio, ou seja,
. Vamos expressar
e
em função do tempo
:
Igualando
:
Simplificando:
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos o sinal e temos:
Passo 5
Agora que temos o tempo
em que a condição de rolar sem deslizar é satisfeita, vamos calcular a distância
percorrida até então. Usamos a equação de movimento uniforme com desaceleração:
Substituindo
:
Simplificando:
Resposta
A distância em que a bola começará a rolar sem deslizar é
.