Uma bola de boliche tem raio R e tem uma velocidade inicial vartheta0 do seu centro de massa e velocidade angular omega0=3 vartheta0 / R tão logo seja lançada pelo jogador e toque o chão. Na sua viagem, a bola sofre a ação de um coeficiente de atrito cinético muk.
A que distância do lançador a bola começará a rolar sem deslizar ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma bola de boliche com raio R que é lançada com uma velocidade inicial do centro vartheta0 e uma velocidade angular inicial omega0 = 3 vartheta0R. Quando a bola toca o chão, ela começa a deslizar por conta do atrito cinético com coeficiente muk. A pergunta é: a que distância do lançador a bola vai começar a rolar sem deslizar? Vamos usar conceitos de cinemática rotacional e forças de atrito para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando a bola está deslizando, o atrito cinético está agindo contra a direção do movimento linear e também causando uma desaceleração na velocidade angular. A força de atrito f pode ser calculada como f = muk N, onde N é a força normal. Como a bola está sobre uma superfície horizontal, N = m g, então f = muk m g. Essa força vai desacelerar a velocidade linear e também causar uma aceleração angular.

Passo 3

Agora, vamos escrever as equações para a desaceleração linear e a aceleração angular. A força de atrito f causa uma desaceleração linear a dada por:
a = fm = muk g
Para a aceleração angular alpha, usamos o torque tau = f R = I alpha, onde I é o momento de inércia da bola de boliche. Para uma esfera sólida, I = 25 m R^2. Então:
muk m g R = 25 m R^2 alpha Rightarrow alpha = 5 muk g2 R

Passo 4

A condição para a bola começar a rolar sem deslizar é que a velocidade linear v seja igual à velocidade angular multiplicada pelo raio, ou seja, v = omega R. Vamos expressar v e omega em função do tempo t:
v(t) = vartheta0 - a t = vartheta0 - muk g t
omega(t) = omega0 + alpha t = 3 vartheta0R + 5 muk g2 R t
Igualando v(t) = omega(t) R:
vartheta0 - muk g t = ( 3 vartheta0R + 5 muk g2 R t ) R
Simplificando:
vartheta0 - muk g t = 3 vartheta0 + 5 muk g2 t
-2 vartheta0 = ( muk g + 5 muk g2 ) t
-2 vartheta0 = 7 muk g2 t Rightarrow t = -4 vartheta07 muk g
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos o sinal e temos:
t = 4 vartheta07 muk g

Passo 5

Agora que temos o tempo t em que a condição de rolar sem deslizar é satisfeita, vamos calcular a distância d percorrida até então. Usamos a equação de movimento uniforme com desaceleração:
d = vartheta0 t - 12 a t^2 = vartheta0 t - 12 muk g t^2
Substituindo t:
d = vartheta0 ( 4 vartheta07 muk g ) - 12 muk g ( 4 vartheta07 muk g )^2
Simplificando:
d = 4 vartheta0^27 muk g - 12 muk g cdot 16 vartheta0^249 muk^2 g^2 = 4 vartheta0^27 muk g - 8 vartheta0^249 muk g
d = 28 vartheta0^2 - 8 vartheta0^249 muk g = 20 vartheta0^249 muk g

Resposta

A distância em que a bola começará a rolar sem deslizar é d = 20, vartheta0^249, muk,g.

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