Quando uma mangueira de jardim com um diâmetro de saída de 20 mm é direcionada diretamente para cima, o fluxo de água sobe até uma altura de 0,15 m. Em seguida, use o polegar para cobrir parcialmente a abertura de saída, de modo que seu diâmetro seja reduzido para 10 mm . Quão alto a água sobe agora? Ignore o arrasto e suponha que a abertura menor que você cria com o polegar é circular.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o quanto a água de uma mangueira sobe quando mudamos o diâmetro da saída dela. Vamos usar conceitos de física relacionados ao fluxo de fluidos e à energia envolvida nesse processo. Para resolver, precisamos saber que a altura que a água alcança depende da velocidade com que ela sai da mangueira, e essa velocidade está ligada ao diâmetro da saída.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o fluxo de água (quantidade de água que passa por segundo) é o mesmo antes e depois de alterar o diâmetro da saída. O fluxo $ Q $ é dado por:
Q
Onde:
  • $ A $ é a área da abertura
  • $ v $ é a velocidade da água

Passo 3

Vamos calcular a área das duas aberturas. A área de um círculo é:
A = pi times (d2)^2
Para a abertura original de 20 mm:
A1 = pi times (20, mm2)^2 = pi times (10, mm)^2 = 100pi, mm^2
Para a abertura reduzida de 10 mm:
A2 = pi times (10, mm2)^2 = pi times (5, mm)^2 = 25pi, mm^2

Passo 4

Como o fluxo $ Q $ é o mesmo, podemos igualar os dois fluxos:
Q
Queremos encontrar a nova velocidade $ v_2 $:
A1 times v1 = A2 times v2
Ou seja, a velocidade da água quadruplica quando reduzimos o diâmetro pela metade.

Passo 5

Agora, vamos relacionar a velocidade da água com a altura que ela alcança. Usamos a equação de Torricelli, que diz que a velocidade $ v $ da água na saída é:
v
Onde:
  • $ g $ é a aceleração da gravidade (~9,8 m/s²)
  • $ h $ é a altura
Rearranjando para encontrar a altura:
v = raiz2gh

Passo 6

Como a velocidade quadruplica ($ v_2 = 4v_1 $), substituímos na equação da altura:
v2 = 4v1
Ou seja, a altura agora será 8 vezes a altura original.

Resposta

A água agora sobe até uma altura de $ 8 \times 0,15, m = 1,2, m $.

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