Um cone de massa M e seção reta circular da base de altura H que possui raio R gira ao redor de um eixo que passa pelo seu centro de massa, vértice e centro da seção circular da base. Se a velocidade angular for omega=120 r.p.m, calcule o momento angular e a energia cinética de rotação desse cone.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um cone que está girando e pede para calcular o momento angular e a energia cinética de rotação dele. A matéria envolvida aqui é a de movimento rotacional, especificamente sobre momento angular e energia cinética rotacional. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o momento de inércia de um cone, converter a velocidade angular de r.p.m para rad/s, e depois aplicar as fórmulas do momento angular e da energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade angular de rotações por minuto (r.p.m) para radianos por segundo (rad/s), porque as fórmulas de física usam essa unidade. Sabemos que:
omega (rad/s) = omega (rpm) times 2pi60
Então, substituindo omega = 120 r.p.m:
omega = 120 times 2pi60 = 4pi rad/s

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o momento de inércia ( I) do cone em relação ao eixo de rotação. Para um cone sólido de massa M e raio da base R, o momento de inércia sobre o eixo de simetria é dado por:
I = 310 M R^2
Então, usamos essa fórmula para o nosso cone.

Passo 4

Com o momento de inércia I e a velocidade angular omega em mãos, podemos calcular o momento angular ( L) usando a fórmula:
L = I omega
Substituindo os valores:
L = 310 M R^2 times 4pi = 65 pi M R^2

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia cinética de rotação ( K). A fórmula para a energia cinética rotacional é:
K = 12 I omega^2
Substituindo I = 310 M R^2 e omega = 4pi:
K = 12 times 310 M R^2 times (4pi)^2 = 320 M R^2 times 16pi^2 = 4820 pi^2 M R^2 = 125 pi^2 M R^2

Resposta

O momento angular do cone é L = 65 pi M R^2 e a energia cinética de rotação é K = 125 pi^2 M R^2.

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