Uma bola cai de uma altura de 12 m . Cada vez que ela bate no chão, sobe a uma altura de três quartos da altura da queda anterior. Determine a distância percorrida pela bola até o repouso.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma bola cai de uma altura de 12 metros e, a cada vez que bate no chão, ela sobe três quartos da altura da queda anterior. Nosso objetivo é descobrir a distância total que a bola percorre até parar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de progressão geométrica e séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. A bola começa caindo 12 metros até o chão. Quando ela bate, ela sobe novamente, mas só consegue alcançar três quartos (ou ¾) da altura da queda anterior. Isso significa que, na primeira vez que a bola sobe depois de cair, ela vai até:

Passo 3

Depois de subir 9 metros, a bola cai de novo esses mesmos 9 metros. Em seguida, ela bate no chão e sobe três quartos de 9 metros, que é:
Esse processo continua infinitamente, com a bola sempre subindo três quartos da altura anterior e depois descendo essa mesma altura.

Passo 4

Para calcular a distância total percorrida, vamos somar todas as subidas e descidas da bola. A primeira queda é de 12 metros. Depois disso, cada subida e descida formam pares que seguem uma progressão geométrica.
A distância total fica assim:

Passo 5

Agora, vamos calcular a soma da série infinita dentro dos parênteses. Essa é uma série geométrica onde cada termo é multiplicado por .
A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
Onde:
  • (primeiro termo)
  • (razão)
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, voltamos à distância total:

Resposta

A distância percorrida pela bola até o repouso é de 84 metros.

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