Explique por que a série é convergente, ou divergente. Se for convergente, calcule a soma da série.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre séries matemáticas. A gente precisa descobrir se a série
converge ou diverge. Se ela convergir, vamos calcular a soma dessa série. Para isso, vamos usar o conceito de série geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa série é uma série geométrica, que tem a forma geral
, onde
é o primeiro termo e
é a razão comum entre os termos.
Passo 3
No nosso caso, a série é
. Aqui, o primeiro termo
é
, e a razão
é também
.
Passo 4
Para uma série geométrica convergir, a razão
precisa satisfazer a condição
. Vamos verificar isso:
Como
é menor que
, a série converge.
Passo 5
Agora, vamos calcular a soma da série convergente. A fórmula para a soma de uma série geométrica que converge é:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A série
é convergente e a sua soma é
.
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