Explique por que a série é convergente, ou divergente. Se for convergente, calcule a soma da série.
sumn=1^infty(ln 2)^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre séries matemáticas. A gente precisa descobrir se a série sumn=1^infty(ln 2)^n converge ou diverge. Se ela convergir, vamos calcular a soma dessa série. Para isso, vamos usar o conceito de série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa série é uma série geométrica, que tem a forma geral sumn=1^infty ar^n, onde a é o primeiro termo e r é a razão comum entre os termos.

Passo 3

No nosso caso, a série é sumn=1^infty(ln 2)^n. Aqui, o primeiro termo a é (ln 2)^1 = ln 2, e a razão r é também ln 2.

Passo 4

Para uma série geométrica convergir, a razão r precisa satisfazer a condição |r| < 1. Vamos verificar isso:
|ln 2| approx 0.6931 < 1
Como 0.6931 é menor que 1, a série converge.

Passo 5

Agora, vamos calcular a soma da série convergente. A fórmula para a soma de uma série geométrica que converge é:
S = a1 - r
Substituindo os valores que encontramos:
S = ln 21 - ln 2

Resposta

A série sumn=1^infty(ln 2)^n é convergente e a sua soma é ln 21 - ln 2.

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