Explique por que a série é convergente, ou divergente. Se for convergente, calcule a soma da série.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre séries matemáticas. A gente precisa descobrir se a série converge ou diverge. Se ela convergir, vamos calcular a soma dessa série. Para isso, vamos usar o conceito de série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa série é uma série geométrica, que tem a forma geral , onde é o primeiro termo e é a razão comum entre os termos.

Passo 3

No nosso caso, a série é . Aqui, o primeiro termo é , e a razão é também .

Passo 4

Para uma série geométrica convergir, a razão precisa satisfazer a condição . Vamos verificar isso:
Como é menor que , a série converge.

Passo 5

Agora, vamos calcular a soma da série convergente. A fórmula para a soma de uma série geométrica que converge é:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A série é convergente e a sua soma é .

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