Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=1^infty 5^n n^2n!

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para testar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência, especialmente o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a série está fazendo. Cada termo da série é . Aqui, cresce exponencialmente, cresce polinomialmente, e (fatorial de n) cresce super-exponencialmente. Precisamos comparar essas taxas de crescimento para ver qual domina.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão, que é ótimo para séries com termos que envolvem fatorial. Esse teste diz que se :
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular an+1an = 5^n+1 (n+1)^2(n+1)! times n!5^n n^2 = 5 cdot (n+1)^2(n+1) cdot n^2 = 5 (n+1)n^2 :

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite conforme limn to infty 5 (n+1)n^2 = limn to infty 5n + 5n^2 = limn to infty 5n + 5n^2 = 0 tende ao infinito:

Passo 6

Como o limite é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge.

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