Beleza, vamos resolver essa questão que pede para testar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência, especialmente o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a série está fazendo. Cada termo da série é . Aqui, cresce exponencialmente, cresce polinomialmente, e (fatorial de n) cresce super-exponencialmente. Precisamos comparar essas taxas de crescimento para ver qual domina.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão, que é ótimo para séries com termos que envolvem fatorial. Esse teste diz que se :
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos calcular :
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite conforme tende ao infinito:
Passo 6
Como o limite é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série converge.