Teste a convergência ou divergência das séries.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para testar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência, especialmente o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a série está fazendo. Cada termo da série é . Aqui, cresce exponencialmente, cresce polinomialmente, e (fatorial de n) cresce super-exponencialmente. Precisamos comparar essas taxas de crescimento para ver qual domina.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão, que é ótimo para séries com termos que envolvem fatorial. Esse teste diz que se :
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular :

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite conforme tende ao infinito:

Passo 6

Como o limite é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

Explique por que a série é convergente, ou divergente. Se for convergente, calcule a soma da série.
Encontre a solução do problema de valor inicial dado:
.
Uma bola cai de uma altura de 12 m . Cada vez que ela bate no chão, sobe a uma altura de três quartos da altura da queda anterior. Determine a distância percorrida pela bola até o repouso.
Teste a convergência ou divergência das séries.