Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=3^infty 1n ln n ln (ln n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente testar a convergência ou divergência da série . Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas e testes de convergência na matemática. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Integral, que ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Integral. Esse teste diz que, se temos uma função contínua, positiva e decrescente para (onde é um número inteiro), então a série e a integral convergem ou divergem juntas. Em outras palavras, se a integral converge, a série também converge; se a integral diverge, a série diverge.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa série. Primeiro, definimos a função . Precisamos verificar se essa função é contínua, positiva e decrescente para .
  • Contínua e Positiva: Para (já que e precisam ser definidos e positivos), a fun��ão é contínua e positiva.
  • Decrescente: A derivada de vai ser negativa, indicando que a função está decrescendo.
Portanto, podemos usar o Teste da Integral.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral correspondente:
integral3^infty 1x ln x ln (ln x) , dx
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição inteligente.

Passo 5

Vamos fazer a substituição u = ln (ln x) dudx = 1ln x cdot 1x du = 1x ln x , dx . Assim, precisamos encontrar 1x ln x , dx = du :
Isso significa que:

Passo 6

Substituindo na integral, temos:
integral3^infty 1x ln x ln (ln x) , dx = integralu(3)^u(infty) 1u , du
Onde:
u(3) = ln (ln 3) u(infty) = limx to infty ln (ln x) = infty
Portanto, a integral se transforma em:
integralln (ln 3)^infty 1u , du

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral:
integral 1u , du = ln |u| + C
Avaliando entre os limites:
limb to infty [ ln b - ln (ln 3) ] = infty
Isso significa que a integral diverge.

Resposta

A série diverge.

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