Teste a convergência ou divergência das séries.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente testar a convergência ou divergência da série . Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas e testes de convergência na matemática. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Integral, que ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Integral. Esse teste diz que, se temos uma função contínua, positiva e decrescente para (onde é um número inteiro), então a série e a integral convergem ou divergem juntas. Em outras palavras, se a integral converge, a série também converge; se a integral diverge, a série diverge.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa série. Primeiro, definimos a função . Precisamos verificar se essa função é contínua, positiva e decrescente para .
  • Contínua e Positiva: Para (já que e precisam ser definidos e positivos), a fun��ão é contínua e positiva.
  • Decrescente: A derivada de vai ser negativa, indicando que a função está decrescendo.
Portanto, podemos usar o Teste da Integral.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral correspondente:
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição inteligente.

Passo 5

Vamos fazer a substituição . Assim, precisamos encontrar :
Isso significa que:

Passo 6

Substituindo na integral, temos:
Onde:
Portanto, a integral se transforma em:

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral:
Avaliando entre os limites:
Isso significa que a integral diverge.

Resposta

A série diverge.

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