Teste a convergência ou divergência das séries.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente testar a convergência ou divergência da série
. Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas e testes de convergência na matemática. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Integral, que ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Integral. Esse teste diz que, se temos uma função
contínua, positiva e decrescente para
(onde
é um número inteiro), então a série
e a integral
convergem ou divergem juntas. Em outras palavras, se a integral converge, a série também converge; se a integral diverge, a série diverge.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa série. Primeiro, definimos a função
. Precisamos verificar se essa função é contínua, positiva e decrescente para
.
- Contínua e Positiva: Para
(já que e precisam ser definidos e positivos), a fun��ão é contínua e positiva. - Decrescente: A derivada de
vai ser negativa, indicando que a função está decrescendo.
Portanto, podemos usar o Teste da Integral.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral correspondente:
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição inteligente.
Passo 5
Vamos fazer a substituição
. Assim, precisamos encontrar
:
Isso significa que:
Passo 6
Substituindo na integral, temos:
Onde:
Portanto, a integral se transforma em:
Passo 7
Agora, vamos resolver a integral:
Avaliando entre os limites:
Isso significa que a integral diverge.
Resposta
A série
diverge.
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