Teste a convergência ou divergência das séries.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que testar se a série

converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries, que são métodos matemáticos que nos ajudam a determinar o comportamento de uma série infinita.

Passo 2

Vamos começar analisando o comportamento geral dos termos da série. Observamos que o termo geral é
. Para entender melhor, vamos simplificar essa expressão.

Passo 3

Dividindo o numerador e o denominador por , temos:
Quando tende ao infinito, tende a zero, então a expressão simplifica para aproximadamente
.

Passo 4

Sabemos que a série

é a famosa série harmônica, que diverge. Isso nos dá uma pista, mas precisamos confirmar se nossa série original tem um comportamento semelhante.

Passo 5

Vamos usar o Teste da Comparação. Se compararmos
com
, percebemos que para todo grande,
. Porém, já que
diverge, isso não nos dá uma conclusão imediata. Então, vamos tentar outro teste.

Passo 6

Vamos aplicar o Teste do Limite. Calculamos o limite do termo geral quando tende ao infinito:
O limite sendo zero nos não conclui nada diretamente, então vamos tentar o Teste da Razão.

Passo 7

Aplicando o Teste da Razão, calculamos:
Como o limite é igual a 1, o Teste da Razão é inconclusivo. Então, vamos utilizar o Teste da Integral.

Passo 8

Vamos considerar a função

e integrar de 1 ao infinito:
Fazendo a substituição , temos , ou seja,
. A integral fica:
Ao avaliar de 1 ao infinito, percebemos que a integral diverge, o que implica que a série também diverge pelo Teste da Integral.

Resposta

A série diverge.

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Em particular, .