Teste a convergência ou divergência das séries.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que testar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries, que são métodos matemáticos que nos ajudam a determinar o comportamento de uma série infinita.
converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries, que são métodos matemáticos que nos ajudam a determinar o comportamento de uma série infinita.
Passo 2
Vamos começar analisando o comportamento geral dos termos da série. Observamos que o termo geral é
. Para entender melhor, vamos simplificar essa expressão.
Passo 3
Dividindo o numerador e o denominador por
, temos:
Quando
tende ao infinito,
tende a zero, então a expressão simplifica para aproximadamente
.
Passo 4
Sabemos que a série
é a famosa série harmônica, que diverge. Isso nos dá uma pista, mas precisamos confirmar se nossa série original tem um comportamento semelhante.
é a famosa série harmônica, que diverge. Isso nos dá uma pista, mas precisamos confirmar se nossa série original tem um comportamento semelhante.
Passo 5
Vamos usar o Teste da Comparação. Se compararmos
com
, percebemos que para todo
grande,
. Porém, já que
diverge, isso não nos dá uma conclusão imediata. Então, vamos tentar outro teste.
Passo 6
Vamos aplicar o Teste do Limite. Calculamos o limite do termo geral quando
tende ao infinito:
O limite sendo zero nos não conclui nada diretamente, então vamos tentar o Teste da Razão.
Passo 7
Aplicando o Teste da Razão, calculamos:
Como o limite é igual a 1, o Teste da Razão é inconclusivo. Então, vamos utilizar o Teste da Integral.
Passo 8
Vamos considerar a função
e integrar de 1 ao infinito:
e integrar de 1 ao infinito:
Fazendo a substituição
, temos
, ou seja,
. A integral fica:
Ao avaliar de 1 ao infinito, percebemos que a integral diverge, o que implica que a série também diverge pelo Teste da Integral.
Resposta
A série
diverge.
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Sejam
e
dois dígitos, isto é,
. Mostre que
Em particular,
.