Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=1^infty nn^2+25

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que testar se a série
sumn=1^infty nn^2+25
converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries, que são métodos matemáticos que nos ajudam a determinar o comportamento de uma série infinita.

Passo 2

Vamos começar analisando o comportamento geral dos termos da série. Observamos que o termo geral é
nn^2+25. Para entender melhor, vamos simplificar essa expressão.

Passo 3

Dividindo o numerador e o denominador por n^2, temos:
nn^2+25 = nn^2n^2n^2 + 25n^2 = 1n1 + 25n^2
Quando n tende ao infinito, 25n^2 tende a zero, então a expressão simplifica para aproximadamente
1n.

Passo 4

Sabemos que a série
sumn=1^infty 1n
é a famosa série harmônica, que diverge. Isso nos dá uma pista, mas precisamos confirmar se nossa série original tem um comportamento semelhante.

Passo 5

Vamos usar o Teste da Comparação. Se compararmos
nn^2+25 com
1n, percebemos que para todo n grande,
nn^2+25 < 1n. Porém, já que
sum 1n diverge, isso não nos dá uma conclusão imediata. Então, vamos tentar outro teste.

Passo 6

Vamos aplicar o Teste do Limite. Calculamos o limite do termo geral quando n tende ao infinito:
limn to infty nn^2+25 = limn to infty 1n + 25n = 0
O limite sendo zero nos não conclui nada diretamente, então vamos tentar o Teste da Razão.

Passo 7

Aplicando o Teste da Razão, calculamos:
limn to infty n+1(n+1)^2+25nn^2+25 = limn to infty (n+1)(n^2+25)n((n+1)^2+25) = limn to infty n^3 + n^2 + 25n + 25n^3 + 2n^2 + n + 25n = 11 = 1
Como o limite é igual a 1, o Teste da Razão é inconclusivo. Então, vamos utilizar o Teste da Integral.

Passo 8

Vamos considerar a função
f(x) = xx^2+25
e integrar de 1 ao infinito:
integral1^infty xx^2+25 dx
Fazendo a substituição u = x^2 + 25, temos du = 2x dx, ou seja,
x dx = du2. A integral fica:
12 integral 1u du = 12 ln|u| + C = 12 ln(x^2+25) + C
Ao avaliar de 1 ao infinito, percebemos que a integral diverge, o que implica que a série também diverge pelo Teste da Integral.

Resposta

A série sumn=1^infty nn^2+25 diverge.

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