Uma bola deve ser deve ser lançada verticalmente para cima, de forma a alcançar a altura máxima de . Considere e despreze a resistência do ar.
a) Calcule a magnitude da velocidade inicial da bola.
b) Determine o tempo que a bola permanecerá no ar.
c) Esboce os gráficos da posição, da velocidade e da aceleração da bola como função do tempo.
d) Indique nos dois primeiros gráficos o instante em que a bola atinge a altura .

Passo 1

Vamos lá! Temos uma bola sendo lançada verticalmente para cima, atingindo uma altura máxima de . O conteúdo aqui é cinemática do movimento vertical. Para resolver, vamos precisar das fórmulas que relacionam velocidade, tempo e altura em movimentos uniformemente acelerados, considerando a aceleração da gravidade .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a magnitude da velocidade inicial da bola. No ponto mais alto, a velocidade final é zero. Usamos a equação:
Como , reescrevemos para encontrar :
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos determinar o tempo que a bola ficará no ar. O tempo para subir até a altura máxima é:
Como o tempo de descida é igual ao de subida (sem resistência do ar), o tempo total no ar será:

Passo 4

Vamos esboçar os gráficos:
  • Posição vs. Tempo: Uma parábola invertida começando de 0, atingindo o ponto mais alto em e voltando a 0 em .
  • Velocidade vs. Tempo: Uma linha reta decrescente, começando em e chegando a em .
  • Aceleração vs. Tempo: Uma linha horizontal constante em , já que a aceleração gravitacional é constante.

Passo 5

Nos gráficos de posição e velocidade, o instante em que a bola atinge a altura máxima é em , que é o pico dos gráficos de posição e o ponto onde a velocidade é zero no gráfico de velocidade.

Resposta

a) A magnitude da velocidade inicial da bola é .
b) O tempo que a bola permanecerá no ar é .
c) Os gráficos são:
  • Posição vs. Tempo: Parábola invertida atingindo o máximo em .
  • Velocidade vs. Tempo: Linha reta decrescente de a .
  • Aceleração vs. Tempo: Linha horizontal constante em .
d) Nos gráficos de posição e velocidade, o instante em que a bola atinge a altura máxima é em .

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