Uma partícula P de massa 4 kg move-se sob a ação da força F=(4 i+12 t^2 j) N, onde t é o tempo em segundos. A velocidade inicial da partícula é (2 i+j+2 k) m / s. Encontre o trabalho realizado por F e o aumento da energia cinética de P durante o intervalo de tempo 0 <= t <= 1. Que princípio isso ilustra?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma partícula com massa 4 kg que está sendo empurrada por uma força que varia com o tempo. Precisamos encontrar o trabalho que essa força realiza e quanto a energia cinética da partícula aumenta no intervalo de tempo de 0 a 1 segundo. Para isso, vamos utilizar conceitos de trabalho, energia cinética e o princípio do trabalho e energia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a força que está agindo na partícula. A força é dada por:
F = (4, i + 12 t^2, j) , N
Aqui, e são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente, e é o tempo em segundos.

Passo 3

A velocidade inicial da partícula é:
v0 = (2, i + 1, j + 2, k) , m/s
Apesar da componente (z) estar presente, como a força não atua nessa direção, a movimentação na direção z não será afetada.

Passo 4

Para encontrar o trabalho realizado pela força W = integralt1^t2 F cdot v , dt no intervalo de tempo , usamos a definição de trabalho:
Onde é a velocidade da partícula. Mas primeiro, precisamos encontrar a expressão para .

Passo 5

Sabemos que a força está relacionada com a aceleração pela segunda lei de Newton:
F = m a
Onde a = Fm = (44, i + 12 t^24, j) = (1, i + 3 t^2, j) , m/s^2 é a massa da partícula e é a aceleração. Então, a aceleração é:

Passo 6

Para encontrar a velocidade v(t) = v0 + integral0^t a , dt = (2, i + 1, j + 2, k) + integral0^t (1, i + 3 tau^2, j) dtau , integramos a aceleração com respeito ao tempo:
v(t) = (2 + t, i + (1 + tau^3), j + 2, k) gr|0^t = (2 + t, i + 1 + t^3, j + 2, k)
Integrando termo a termo:
v(t) = (2 + t), i + (1 + t^3), j + 2, k , m/s
Então:

Passo 7

Agora, calculamos o trabalho realizado pela força W = integral0^1 F cdot v(t) , dt = integral0^1 (4, i + 12 t^2, j) cdot ((2 + t), i + (1 + t^3), j + 2, k) dt durante o tempo de 0 a 1 segundo:
F cdot v = 4(2 + t) + 12 t^2(1 + t^3) = 8 + 4t + 12 t^2 + 12 t^5
O produto escalar W = integral0^1 (8 + 4t + 12 t^2 + 12 t^5) dt = [8t + 2t^2 + 4 t^3 + 2 t^6]0^1 = 8(1) + 2(1)^2 + 4(1)^3 + 2(1)^6 = 8 + 2 + 4 + 2 = 16 , J é:
Então, o trabalho é:

Passo 8

Agora, vamos calcular o aumento da energia cinética da partícula. A energia cinética é dada por:
K = 12 m v^2
Primeiro, encontramos a velocidade final v(1) = (2 + 1), i + (1 + 1^3), j + 2, k = 3, i + 2, j + 2, k , m/s :
vf = raiz3^2 + 2^2 + 2^2 = raiz9 + 4 + 4 = raiz17 , m/s
Calculando a magnitude da velocidade final:
Kf = 12 times 4 times 17 = 2 times 17 = 34 , J
A energia cinética final ��:
v0 = raiz2^2 + 1^2 + 2^2 = raiz4 + 1 + 4 = raiz9 = 3 , m/s
A energia cinética inicial Ki = 12 times 4 times 9 = 2 times 9 = 18 , J é:
De
O aumento da energia cinética é:

Resposta

O trabalho realizado pela força é de 16 J, e o aumento da energia cinética da partícula nesse intervalo de tempo também é de 16 J. Isso ilustra o princípio do trabalho e energia, que relaciona o trabalho realizado por forças com a mudança na energia cinética de um sistema.

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