Uma partícula de massa 4 kg move-se sob a ação da força , onde é o tempo em segundos. velocidade inicial da partícula é . Encontre o trabalho realizado por e o aumento da energia cinética de durante o intervalo de tempo . Que princípio isso ilustra?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma partícula com massa 4 kg que está sendo empurrada por uma força que varia com o tempo. Precisamos encontrar o trabalho que essa força realiza e quanto a energia cinética da partícula aumenta no intervalo de tempo de 0 a 1 segundo. Para isso, vamos utilizar conceitos de trabalho, energia cinética e o princípio do trabalho e energia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a força que está agindo na partícula. A força é dada por:
Aqui, e são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente, e é o tempo em segundos.

Passo 3

A velocidade inicial da partícula é:
Apesar da componente (z) estar presente, como a força não atua nessa direção, a movimentação na direção z não será afetada.

Passo 4

Para encontrar o trabalho realizado pela força no intervalo de tempo , usamos a definição de trabalho:
Onde é a velocidade da partícula. Mas primeiro, precisamos encontrar a expressão para .

Passo 5

Sabemos que a força está relacionada com a aceleração pela segunda lei de Newton:
Onde é a massa da partícula e é a aceleração. Então, a aceleração é:

Passo 6

Para encontrar a velocidade , integramos a aceleração com respeito ao tempo:
Integrando termo a termo:
Então:

Passo 7

Agora, calculamos o trabalho realizado pela força durante o tempo de 0 a 1 segundo:
O produto escalar é:
Então, o trabalho é:

Passo 8

Agora, vamos calcular o aumento da energia cinética da partícula. A energia cinética é dada por:
Primeiro, encontramos a velocidade final :
Calculando a magnitude da velocidade final:
A energia cinética final ��:
A energia cinética inicial é:
O aumento da energia cinética é:

Resposta

O trabalho realizado pela força é de 16 J, e o aumento da energia cinética da partícula nesse intervalo de tempo também é de 16 J. Isso ilustra o princípio do trabalho e energia, que relaciona o trabalho realizado por forças com a mudança na energia cinética de um sistema.

Exercícios relacionados

A velocidade de uma partícula se movendo ao longo do eixo é dada por
em unidades do sistema SI
a) Em que instantes de tempo a velocidade da partícula é máxima?
b) Qual a aceleração média entre e ?
c) Qual a aceleração instantânea em e ?
d) Qual o deslocamento da partícula entre e ?
Uma bola deve ser deve ser lançada verticalmente para cima, de forma a alcançar a altura máxima de . Considere e despreze a resistência do ar.
a) Calcule a magnitude da velocidade inicial da bola.
b) Determine o tempo que a bola permanecerá no ar.
c) Esboce os gráficos da posição, da velocidade e da aceleração da bola como função do tempo.
d) Indique nos dois primeiros gráficos o instante em que a bola atinge a altura .
Uma partícula move-se com aceleração , em unidades do SI. Sabendo que no instante de tempo a velocidade é e a posição é ., pede-se para determinar
a) o ângulo entre os vetores e .
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Um motor elétrico, cuja eficiência é de necessita de uma potência de 3 kW para impulsionar uma bomba centrífuga cuja eficiência é de 73,5%. Se a bomba fornece água para o tanque de um edifício, localizado no telhado, a uma taxa de , determine o número de andares do edifício, se a bomba está localizada na base do edifício e cada andar é de de altura, .