Uma partícula de massa 4 kg move-se sob a ação da força , onde é o tempo em segundos. velocidade inicial da partícula é . Encontre o trabalho realizado por e o aumento da energia cinética de durante o intervalo de tempo . Que princípio isso ilustra?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma partícula com massa 4 kg que está sendo empurrada por uma força que varia com o tempo. Precisamos encontrar o trabalho que essa força realiza e quanto a energia cinética da partícula aumenta no intervalo de tempo de 0 a 1 segundo. Para isso, vamos utilizar conceitos de trabalho, energia cinética e o princípio do trabalho e energia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a força que está agindo na partícula. A força é dada por:
Aqui, e são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente, e é o tempo em segundos.
Passo 3
A velocidade inicial da partícula é:
Apesar da componente (z) estar presente, como a força não atua nessa direção, a movimentação na direção z não será afetada.
Passo 4
Para encontrar o trabalho realizado pela força no intervalo de tempo , usamos a definição de trabalho:
Onde é a velocidade da partícula. Mas primeiro, precisamos encontrar a expressão para .
Passo 5
Sabemos que a força está relacionada com a aceleração pela segunda lei de Newton:
Onde é a massa da partícula e é a aceleração. Então, a aceleração é:
Passo 6
Para encontrar a velocidade , integramos a aceleração com respeito ao tempo:
Integrando termo a termo:
Então:
Passo 7
Agora, calculamos o trabalho realizado pela força W = integral0^1 F cdot v(t) , dt = integral0^1 (4, i + 12 t^2, j) cdot ((2 + t), i + (1 + t^3), j + 2, k) dt durante o tempo de 0 a 1 segundo:
A energia cinética inicial Ki = 12 times 4 times 9 = 2 times 9 = 18 , J é:
De
O aumento da energia cinética é:
Resposta
O trabalho realizado pela força é de 16 J, e o aumento da energia cinética da partícula nesse intervalo de tempo também é de 16 J. Isso ilustra o princípio do trabalho e energia, que relaciona o trabalho realizado por forças com a mudança na energia cinética de um sistema.