A velocidade de uma partícula se movendo ao longo do eixo
é dada por
em unidades do sistema SI
a) Em que instantes de tempo a velocidade da partícula é máxima?
b) Qual a aceleração média entre
e
?
c) Qual a aceleração instantânea em
e
?
d) Qual o deslocamento da partícula entre
e
?
a) Em que instantes de tempo a velocidade da partícula é máxima?
b) Qual a aceleração média entre
c) Qual a aceleração instantânea em
d) Qual o deslocamento da partícula entre
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a velocidade de uma partícula em função do tempo, que é dada por:
Esse exercício aborda conceitos de cinemática, especificamente sobre velocidade, aceleração média e instantânea, e deslocamento. Para resolver, vamos precisar entender funções trigonométricas, derivadas e integrais básicas.
Passo 2
a) Em que instantes de tempo a velocidade da partícula é máxima?
Para encontrar quando a velocidade é máxima, precisamos saber quando a função seno atinge seu valor máximo, que é 1. Então, temos:
Isso acontece quando o argumento do seno é
, onde
é um número inteiro.
Então:
Como estamos falando de tempo, consideramos valores positivos para
. Então, os instantes de tempo são:
Passo 3
b) Qual a aceleração média entre
e
?
A aceleração média (
) é dada pela variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo:
Aqui,
e
.
Primeiro, calculamos
e
:
Agora, calculamos a aceleração média:
Passo 4
c) Qual a aceleração instantânea em
,
e
?
A aceleração instantânea (
) é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Vamos derivar
:
Agora, substituímos os valores de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
d) Qual o deslocamento da partícula entre
e
?
O deslocamento (
) é a integral da velocidade em relação ao tempo:
Vamos resolver a integral:
Agora, avaliamos de
a
:
Resposta
a) Os instantes de tempo em que a velocidade é máxima são
segundos, onde
é um número inteiro.
b) A aceleração média entre
e
é
.
c) As acelerações instantâneas são:
- Em
: - Em
: - Em
:
d) O deslocamento da partícula entre
e
é
.