A velocidade de uma partícula se movendo ao longo do eixo x é dada por
v(t)=2,0 sen(pi4 t)
em unidades do sistema SI
a) Em que instantes de tempo a velocidade da partícula é máxima?
b) Qual a aceleração média entre t=0 e t=2,0 s ?
c) Qual a aceleração instantânea em t=0 ; 1,0 e 2,0 s ?
d) Qual o deslocamento da partícula entre t=0 e t=2,0 s ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a velocidade de uma partícula em função do tempo, que é dada por:
v(t) = 2,0 sen(pi4 t)
Esse exercício aborda conceitos de cinemática, especificamente sobre velocidade, aceleração média e instantânea, e deslocamento. Para resolver, vamos precisar entender funções trigonométricas, derivadas e integrais básicas.

Passo 2

a) Em que instantes de tempo a velocidade da partícula é máxima?
Para encontrar quando a velocidade é máxima, precisamos saber quando a função seno atinge seu valor máximo, que é 1. Então, temos:
sen(pi4 t) = 1
Isso acontece quando o argumento do seno é pi2 + 2pi k, onde k é um número inteiro.
Então:
pi4 t = pi2 + 2pi k t = 2 + 8k (dividindo ambos os lados por pi4)
Como estamos falando de tempo, consideramos valores positivos para t. Então, os instantes de tempo são:
t = 2 + 8k segundos, onde k = 0, 1, 2, dots

Passo 3

b) Qual a aceleração média entre t=0 e t=2,0,s?
A aceleração média ( amédiaé) é dada pela variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo:
amédia = v(t2) - v(t1)t2 - t1 é
Aqui, t1 = 0,s e t2 = 2,0,s.
Primeiro, calculamos v(0) e v(2):
v(0) = 2,0 sen(pi4 times 0) = 2,0 times 0 = 0, m/s v(2) = 2,0 sen(pi4 times 2) = 2,0 sen(pi2) = 2,0 times 1 = 2,0, m/s
Agora, calculamos a aceleração média:
amédia = 2,0, m/s - 0, m/s2,0,s - 0,s = 2,02,0 = 1,0, m/s^2 é

Passo 4

c) Qual a aceleração instantânea em t=0,s, t=1,0,s e t=2,0,s?
A aceleração instantânea ( a(t)) é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t) = dvdt
Vamos derivar v(t):
v(t) = 2,0 sen(pi4 t) a(t) = 2,0 times pi4 cos(pi4 t) = pi2 cos(pi4 t)
Agora, substituímos os valores de t:
  • Para t = 0,s:
a(0) = pi2 cos(0) = pi2 times 1 = pi2, m/s^2
  • Para t = 1,0,s:
a(1) = pi2 cos(pi4 times 1) = pi2 cos(pi4) = pi2 times raiz22 = pi raiz24, m/s^2
  • Para t = 2,0,s:
a(2) = pi2 cos(pi4 times 2) = pi2 cos(pi2) = pi2 times 0 = 0, m/s^2

Passo 5

d) Qual o deslocamento da partícula entre t=0,s e t=2,0,s?
O deslocamento ( S) é a integral da velocidade em relação ao tempo:
S = integral0^2 v(t), dt = integral0^2 2,0 sen(pi4 t) dt
Vamos resolver a integral:
integral 2,0 sen(pi4 t) dt = -8pi cos(pi4 t) + C
Agora, avaliamos de 0 a 2:
S = [ -8pi cos(pi4 times 2) ] - [ -8pi cos(pi4 times 0) ] S = -8pi cos(pi2) + 8pi cos(0) S = -8pi times 0 + 8pi times 1 S = 8pi, m

Resposta

a) Os instantes de tempo em que a velocidade é máxima são t = 2 + 8k segundos, onde k é um número inteiro.
b) A aceleração média entre t=0,s e t=2,0,s é 1,0, m/s^2.
c) As acelerações instantâneas são:
  • Em t=0,s: pi2, m/s^2
  • Em t=1,0,s: pi raiz24, m/s^2
  • Em t=2,0,s: 0, m/s^2
d) O deslocamento da partícula entre t=0,s e t=2,0,s é 8pi, metros.

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